Apuntes Ecauciones Diferenciales

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ACADE EMIA DE MATEM MÁTICAS ESIQI IE-IPN

SE EMESTRE: JULIO­DI ICIEMBRE E DE 2012 2 

ECUACIONES DIFERENCIALES

E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.

UNIDAD TEMATICA I  ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN
Introducción a lasecuaciones diferenciales

 

Una ecuación diferencial es una expresión matemática en la que intervienen derivadas de una o más funciones. De acuerdo con el Teorema Fundamental del Cálculo, se afirma que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Significa que para toda función continua integrable se verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. La aplicaciónde este teorema a las Ecuaciones Diferenciales implica que es posible obtener una función a partir de la integración de una ecuación diferencial. A este proceso se le denomina la solución de una ecuación diferencial, existiendo diferentes métodos de solución de acuerdo al tipo de ecuación diferencial a resolver. Las ecuaciones diferenciales y su solución representan una de las herramientasfundamentales en el estudio de diversos campos del conocimiento, y en especial en las diversas ramas de la ingeniería: física, mecánica, economía, química, electricidad, electrónica, metalurgia, etc. En lo referente a Ingeniería Química, su aplicación es imprescindible en la solución de problemas en diversos temas: termodinámica, balances de materia y energía, fenómenos de transporte (transferencia decalor, transferencia de masa, transferencia de cantidad de movimiento), cinética química, ingeniería de reactores, operaciones unitarias, diseño de equipos y procesos, control de procesos, optimización, etc. A continuación se ilustran algunos ejemplos de aplicación de las ecuaciones diferenciales que describen modelos físicos en ingeniería, con el propósito de ilustrar algunas de sus diversasaplicaciones. El desarrollo de modelos de aplicaciones en ingeniería a partir de ecuaciones diferenciales requiere del estudio de cada disciplina en particular y requiere destreza en el manejo del cálculo diferencia e integral. El estudio avanzado en ingeniería requiere que el estudiante desarrolle sólidos conceptos en ecuaciones diferenciales. Por ejemplo: a) En física clásica, la distancia vertical srecorrida por un cuerpo que cae por acción de la gravedad terrestre g durante un tiempo t se describe por la ecuación diferencial:

d 2s = −g dt 2
b) El desplazamiento vertical x de una masa m sujeta a un resorte con constante de Hook de elasticidad k se escribe:

m

d 2x = −k x dt 2

COMISION ACADÉMICA    

                                  PAG 1                                   JUL‐DIC 2012 

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c) En fenómenos de transporte, la ecuación de continuidad representa un balance de masa en un elemento diferencial de volumen, teniendo el sistema una densidad ρ y movimiento a velocidad v

∂ρ = −∇i( ρv ) ∂t

d) La denominada Ecuación de Onda se aplica en la teoría electromagnética en relación al fenómeno de propagación deondas. El concepto parte del análisis elemental del comportamiento vibratorio u oscilatorio de cuerdas:

∂ 2u ∂ 2u =c2 2 ∂t 2 ∂x
e) La transferencia de calor por conducción en tres dimensiones, en un sistema con conductividad térmica k y temperatura T se describe por:

⎛ ∂ 2T ∂ 2T ∂ 2T ⎞ ∂T = k ∇2T = k ⎜ 2 + 2 + 2 ⎟ ∂t ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂x
f) En un reactor químico, se plantea un balance de masa en unelemento diferencial del sistema, donde se incluye a los términos de acumulación de materia como la derivada de la concentración C en función del tiempo, el transporte convectivo asociado a la velocidad v del fluido, el transporte difusivo J y velocidad de reacción R para el compuesto j:

∂C j ∂t

+ ∇i(C jv ) + ∇i J j = R j

Se debe observar que en el planteamiento de la solución de...