Apuntes De Ecuaciones Diferenciales

Parte I: Ecuaciones Diferenciales de Primer
Orden
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Ejemplos de Problemas que involucran Ecuaciones Diferenciales.

Ejemplo 1 Considere un objeto de masa m cayendo libremente. ¿Cómo determinar la posición del objeto en
cada instante t?
En primer lugar se necesita un sistema de coordenadas apropiado. Considere una recta vertical con coordenadas de manera tal que el sentido positivo queda haciaarriba. Como la posición del objeto cambia en el tiempo,
resulta claro que para describirla en relación al sistema de coordenadas se requiere un listado de números que
indique la posición en cada instante. Esto se expresa diciendo que la posición está determinada por la función
y (t), y el problema consiste en determinar la función y (t). Ahora bien, como el objeto cae libremente se puedeargumentar que la única fuerza que actúa sobre él es su propio peso P , que se relaciona, según Newton, con la
aceleración de gravedad por la ecuación
P = −mg,

donde g > 0, es la aceleración de gravedad. Por otra parte, la aceleración a (t) experimentada por el objeto en
el instante t, se expresa desde el punto de vista de y (t), o mejor de cálculo diferencial, por
a (t) =

d2 y (t)
= y 00 (t) ,
dt2

ynuevamente Newton afirma que
P =m

d2 y (t)
= my 00 (t) .
dt2

Entonces, se puede concluir que
y 00 (t) = −g.

De esta manera se ha determinado una relación que debe ser satisfecha por la función y (t) que representa
la situación de interés. Esta relación es una ecuación diferencial; ecuación por cuanto involucra la magnitud
desconocida y (t), que se busca determinar, y diferencial porque laincógnita aparece bajo el signo de la derivada.
Se puede observar que cualquier función que satisfaga esta relación puede representar la posición del objeto
en el instante t. Esto tiene sentido: note que se puede dejar caer un objeto de muy diferentes formas, por
ejemplo se puede lanzar hacia abajo o hacia arriba, aún cuando pareciera que esta última forma no es la manera
más natural de "caer", luego,cualquiera sea la forma en que el fenómeno ocurra, se espera poder describir el
movimiento con una función que satisfaga la ecuación.
En efecto, integrando un par de veces ambos miembros de la ecuación diferencial se obtiene:
1
y (t) = − gt2 + at + b
2
¿De qué manera se puede seleccionar la solución que representa la situación que se está estudiando?.
Para responder a esta pregunta es necesariainformación adicional que de alguna forma caracterice la situación
que está bajo estudio, por ejemplo, conocer la posición en que se encuentra en algún instante t y, naturalmentem
la velocidad en ese mismo instante. Así, esta situación particular queda descrita por la ecuación
y 00 (t) = −g
1

junto con las llamadas condiciones inciales
y 0 (t0 ) = v0
y (t0 ) = c0 .
Esto lleva a la soluciónparticular
µ
¶
1 2
1 2
y (t) = − gt + (v0 + gt0 ) t + c0 − v0 t0 + gt0 .
2
2
Ejemplo 2 La velocidad con que se desintegra una sustancia radiactiva es, en cada instante, proporcional a la
cantidad de sustancia que permanece no desintegrada. ¿Cómo determinar la cantidad de sustancia radiactiva
en el instante t?.
Anotemos A (t) la cantidad de sustancia radiactiva en el instante t. La desintagración enun intervalo de
tiempo [t, t1 ] está dada por la variación A (t1 ) − A (t) en la cantidad de sustancia radiactiva y la rapidez con
que se produce la desintegración en este intervalo es
A (t1 ) − A (t)
t1 − t
de manera que la rapidez con que cambia la cantidad A (t), en el instante t no es otra cosa que la derivada de A
A0 (t) = lim

t→t1

A (t1 ) − A (t)
t1 − t

y entonces la cantidad A (t)necesariamente satisface la ecuación diferencial
A0 (t) = kA (t)
donde k < 0 es la constante de proporcionalidad (¿Por qué k < 0?).
Ejemplo 3 Supóngase que un cable cuelga suspendido de sus extremos, sometido a su propio peso. ¿Cómo
determinar la forma que asume el cable colgante?
Se situa el sistema de coordenadas de manera que el punto más bajo de la curva, P1 , esté sobre el origen
del sistema de...