apuntes matemáticas 1

FACULTAD DE CIENCIAS
´
F´
ISICAS Y MATEMATICAS
UNIVERSIDAD DE CHILE
´
Introducci´n al Algebra 08-1
o

Departamento de Ingenier´ Matem´tica - Universidad de Chile
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Ingenier´ Matem´tica
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Importante: Visita regularmente
http://www.dim.uchile.cl/~algebra.
Ah´ encontrar´s las gu´ de ejercicios
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a
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y problemas, adem´s de informaci´n
a
o
acerca de cu´l ser´ ladin´mica del curso.
a
a
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´
SEMANA 1: LOGICA

1.

L´gica
o

La l´gica le proporciona a las matem´ticas un lenguaje claro y un m´todo preciso para
o
a
e
demostrar teoremas a partir de axiomas. Por ejemplo:
axiomas de Euclides, definiciones, nociones primarias de geometr´ cl´sica
ıa a
+
l´gica
o
=
teoremas de la geometr´ euclidiana
ıa

Un ejemplo de noci´n primaria es la depunto. Un ejemplo de axioma es el que dice que por
o
un punto ubicado fuera de una recta L pasa una y s´lo una recta paralela a L.
o
Sin la l´gica los axiomas ser´ un mont´n de verdades aceptadas, pero nada m´s. La
o
ıan
o
a
l´gica, sin embargo, les da sentido y permite concluir nueva verdades (teoremas) que antes no
o
conoc´
ıamos. Un ejemplo de teorema: la suma de los ´ngulos interioresde cualquier tri´ngulo
a
a
siempre es de 180◦.
Al ser la l´gica el punto de partida de las matem´ticas, en ella se deben introducir nociones
o
a
primarias tales como proposici´n, valor de verdad, conectivo l´gico.
o
o

1.1.

Proposiciones y valor de verdad

Definici´n 1.1 (Proposici´n l´gica). Una proposici´n debe interpretarse como un enuno
o o
o
ciado que siempre toma uno de losvalores de verdad posibles: verdadero (V ) o falso (F ).
Por ejemplo, en el contexto de la aritm´tica, “2+1=5” corresponde efectivamente a una
e
proposici´n. M´s a´ n, su valor de verdad es F .
o
a u
T´
ıpicamente notaremos a las proposiciones con letras min´ sculas: p, q, r, etc.
u

Algunos ejemplos:
“Estoy estudiando ingenier´
ıa”.
“1≥ 0”.
“Est´ lloviendo en Valdivia”.
a

1.2.Conectivos l´gicos
o

Los conectivos l´gicos sirven para construir nuevas proposiciones a partir de proposiciones
o
ya conocidas. El valor de verdad de la nueva proposici´n depender´ del valor de verdad
o
a
de las proposiciones que la forman. Esta dependencia se explicita a trav´s de una tabla de
e
verdad.

1

Usa estas notas al
margen para consultar de manera
m´s r´pida el maaa
terial. Haz tambi´n tus propias
e
anotaciones.

Departamento de Ingenier´ Matem´tica - Universidad de Chile
ıa
a

Definici´n 1.2 (Negaci´n). La proposici´n p se lee “no p” y es aquella cuyo valor de
o
o
o
verdad es siempre distinto al de p. Por ejemplo, la negaci´n de “mi hermano ya cumpli´
o
o
quince a˜ os” es “mi hermano a´n no cumple quince a˜ os”. Esto se explicita a trav´sde la
n
u
n
e
siguiente tabla de verdad.
p
V
F

p
F
V

Definici´n 1.3 (O l´gico o disyunci´n). La proposici´n p∨q se lee “p o q”. Decimos que
o
o
o
o
p∨q es verdad, o que “se tiene p∨q”, cuando al menos una de las dos proposiciones, o bien p
o bien q, es verdadera. Por ejemplo, la proposici´n “ma˜ ana llover´ o ma˜ ana no llover´” es
o
n
a
n
a
verdadera. En otras palabras,tal como se aprecia en la siguiente tabla de verdad, si alguien
afirma que se tiene p ∨ q lo que nos est´ diciendo es que nunca son simult´neamente falsas.
a
a
p
V
V
F
F

p∨q
V
V
V
F

q
V
F
V
F

Definici´n 1.4 (Y l´gico o conjunci´n). La proposici´n p ∧ q se lee “p y q”. Tal como
o
o
o
o
se aprecia en la siguiente tabla de verdad, si alguien afirma que se tiene p ∧ q, loque nos
est´ diciendo es que ambas proposiciones son verdaderas.
a
p
V
V
F
F

p∧q
V
F
F
F

q
V
F
V
F

Definici´n 1.5 (Implicancia). Todos estaremos de acuerdo en considerar verdadera la
o
proposici´n “si el se˜ or K est´ en California entonces el se˜ or K est´ en Estados Unidos”.
o
n
a
n
a
¿Por qu´?
e
Porque a uno no le importa d´nde est´ el se˜ or K: podr´a estar en...