Apuntes Matemáticas 2º Bachillerato

TEMA 1.-DOMINIO DE UNA FUNCION
En una función y=f(x), el dominio está formado por los valores en que y se puede calcular.
Cálculo de dominios
1.
2. Polinomio
y=p(x)
d=R
3. Funciones seno y coseno
y=senx; y=cosx
D=R
4. Raíces pares
y=2nf(x)
D=[f(x)≥0]
5. Raíces impares
y=2n-1f(x)
D=Domf

6.
Cocientes
y=f(x)g(x)
D=Domf∩Domg-[g=0]
7. Logaritmos
y=logaf(x)D=[f>0]
8. Exponenciales
y=afx a>0
D=Domf
9. Funciones trigonométricas inversas
y=arcsenf(x)… D=[-1≤f(x)≤1]
y=arccosf(x)… D=[-1≤f(x)≤1]
y=arctgf(x)…D=

Límite de una función cuando tiende a ±∞
1.limx→ ±∞Fx=L Decimos que el limito cuando x tiende a +∞/-∞ de una función es un numero L cuando dando a x valores muy grandes positivos/negativos, la función se va acercando mas aL.
2. limx→ ±∞f(x)=±∞ Decimos que el limite cuando x tiende a +∞/-∞ de una función es +∞/-∞, si dando valores más grandes positivos/negativos, los valores de la función se van haciendo cada vez mas grandes/pequeños.
3. Funciones oscilantes.
Limite de una función en un punto
1.limx→afx=L Decimos que el limite cuando x tiende a a por la derecha/por la izquierda de una función es igual a L sial dar a x valores cada vez más próximos mayores/menores que a, f(x) se va aproximando a L.
2.limx→afx=±∞ Decimos que el limite cuando x tiende a a por la derecha/por la izquierda de una función es igual a +∞/-∞, si al dar valores a x cada vez más próximos mayores/menores que a, f(x) se va haciendo cada vez más grande positivo/negativo.
Cálculo de límites
Las funciones elementales cumplen:1.limx→cfx=fc, si fcesta definida
2.limx→∞ (axn+bxn-1…)=limx→∞ ax^n

Si arriba hay mayor grado, ±∞
Si abajo hay mayor grado, 0
Si hay empate a grados, a

3. limx→∞ (f(x)g(x))
4.limx→∞ nfxm =f(x)m/n-> se procede como en un polinomio
5. limx→+∞ afx, siendo a>0, se hace la cuenta
Si a>1 y f(x) +∞, limite=+∞
Si a>1 y f(x)- ∞, limite=0
Si a<1 y f(x)+ ∞, limite=0
Si a<1 yf(x) -∞, limite= +∞

Si a>1 y f(x) +∞, logaf(x)=+∞
Si a<1 y f(x)+ ∞, logaf(x)=-∞
Si a<1 y f(x)0, logaf(x)=0
Si a<1 y f(x) 0, logaf(x)= +∞
6. y=logaf(x)

7. y=senx;y=cosx
Oscilantes

Comparación de infinitos
1.Infinito potencial
Inf logarítmico <<<Inf potencial<<<Inf exponencial
Si P es un polinomio
limx→∞Px=±∞
2.Infinito exponencial
Sia>1
limx→+∞ax= +∞
3.Infinito logarítmico
limx→∞logax= +∞

Operaciones con límites
1.Composicion
g(x)◦f(x)=g[f(x)]
limx→agfx= limx→ag[limx→af(x)]
2.Suma y resta
limx→afx=L1 limx→agx=L2 ……. limx→afx+ gx=

g/f | L1 | +∞ | -∞ |
L2 | L1+L2 | +∞ | -∞ |
+∞ | +∞ | +∞ | IND |
-∞ | -∞ | IND | -∞ |
g/f | L1 | +∞ | -∞ | 0 |
L2 | L1/L2 | ±∞ | ±∞ | 0 |
+∞ | 0 | IND |IND | 0 |
-∞ | 0 | IND | IND | 0 |
0 | ±∞ | ±∞ | ±∞ | IND |
3.Cociente
limx→af(x)g(x)=

4.Producto
limx→a fx·gx=
g/f | L1≠0 | 0 | ±∞ |
L2≠0 | L1·L2 | 0 | ±∞ |
0 | 0 | 0 | IND |
±∞ | ±∞ | IND | ±∞ |

f1/g= g1/f= ±∞±∞-> Se usa L´hôpital
IND-> ±∞ ·0
f∞
g0

f/g | -∞ | b<0 | b=0 | b>0 | +∞ |
L=0 | +∞ | +∞ | IND | 0 | 0 |
L<1 | +∞ | Lb | 1 | Lb | 0 |
L=1 |IND | 1 | 1 | 1 | IND |
L>1 | 0 | Lb | 1 | Lb | +∞ |
+∞ | 0 | 0 | IND | +∞ | +∞ |
5.Potencias
limx→a[f(x)]gx=
f(x) ≥0

Regla de L´Hôpital
Sirve para calcular las indeterminaciones 0/0 e ∞/∞.
limx→af(x)g(x)=limx→af'(x)g'(x)
Indeterminación 1∞
limx→af(x)g(x)=limx→aefx-1*g
f(x)->1
g(x)-> ∞
Continuidad en un punto
Decimos que f(x) es continua en un punto x=c si:
1. Existef(c)
2. Existe limx→cf(x)
3. limx→cf(x)=f(c)
En caso contrario, decimos que y=f(x) es discontinua en x=c:
A. Si existe limx→cf(x)=L, pero L ≠f(c) o f(c) no existe, decimos que x=c es discontinuidad evitable
B. Si alguno de los dos limites laterales es ∞ entonces x=c es discontinuidad inevitable de salto infinito
C. Si los limites laterales son distintos, se dice que x=c es...