APUNTES UI 1

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CALCULO VECTORIAL
Unidad I Algebra de Vectores
1.1 Definición de un vector en R2, R3 y su interpretación geométrica.
SISTEMA COORDENADO BIDIMENSIONAL
Una manera de describir la posición de un punto P en el plano, consiste en asignarle
coordenadas relativas a dos ejes mutuamente ortogonales (o perpendiculares), llamados ejes
X y Y. Si P es el punto de intersección de la recta x=a (perpendicularal eje x) y la recta
y=b (perpendicular al eje y), entonces se dice que los elementos de la pareja ordenada (a,
b) son las coordenadas cartesianas rectangulares del punto.
Véase la figura 1.1
y
P(a,b)
Y=b

0

X=a
Figura 1.1

SISTEMA COORDENADO TRIDIMENSIONAL
En el espacio de tres dimensiones se construye un sistema de coordenadas rectangulares
utilizando tres ejes mutuamente0ortogonales. El puntoen el que estos ejes se cortan se llama
x=a de la figura 1.2(a) representan los ejes negativos. Ahora
origen, O. Las líneas punteadas
bien, si son tres planos perpendiculares al eje x, eje y y eje z, respectivamente, el punto P
en el cual se cortan dichos planos se puede representar por una triada ordenada de números
(a,b,c) llamados coordenadas cartesianas rectangulares del punto. Los números a,b y c se
denominan coordenadas x,y,z de P (a,b,c)respectivamente. Véase figura 1.2(b).
Figura 1.2
x=a,

y= b,

z=c

Z
Plano z=c
P(a,b,c)

Z
Plano x=a

0
X

a)

Y
X

b)

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Octantes
Cada pareja de ejes coordenados determina un plano coordenado. Los ejes x y y determinan
el plano xy, los ejes x y z determinan el plano xz, y a sí sucesivamente. Los planos
coordenados dividen al espaciotridimensional en ocho partes llamadas octantes como se
observa en la fig. 1.2d. El octante en el cual las tres coordenadas son positivas, se llama
primer octante. No existe ningún acuerdo para denominar a los otros siete octantes.
La tabla siguiente resume las coordenadas de un punto que se encuentre en un eje
coordenado o en un plano coordenado.
Ejes
Coordenadas
Plano
Coordenadas
X
( a, 0, 0)
xy
(a, b, 0)Y
( 0, b, 0)
xz
(a, 0, c)
z
( 0, 0, c)
yz
(0, b, c)

Definición de un vector
En la ciencia y la ingeniería, se distinguen dos clases de cantidades, escalares y vectoriales.
Un escalar es simplemente un número real, o bien una cantidad que sólo tiene magnitud,
por ejemplo la longitud la temperatura o la presión sanguínea, se representa con número.
Un vector, por otra parte, se describe usualmentecomo una cantidad que tiene tanto
magnitud como dirección.
Un vector se representa gráficamente mediante una flecha, y se simboliza mediante una

literal en tipo negro v o v o AB .
Por el momento, definimos un vector como un segmento de recta dirigido que empieza
en el origen, esto es, un segmento de recta con punto inicial en el origen y con dirección,
sentido y magnitud especificadas, lodenotaremos por a, en caso que su extremo inicial no
coincida con el origen lo denominamos vector libre y se denota por AB si su extremo
inicial es el punto A y su extremo final es el punto B.

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Vector libre

Vector ligado

Si el vector esta en el plano empleamos el sistema bidimensional, entonces el punto inicial
del vector esta en el origen (0,0) y el extremo del vector estará dado por una parejaordenada de números (x, y).
Cada uno de los números se llama componentes del vector.
Si el vector esta en el espacio empleamos el sistema coordenado tridimensional, todo vector
en el espacio se representa por ‹x, y, z›.
Ejemplo
Un vector cuyo punto inicial es A y cuyo punto terminal es B se escribe AB. La magnitud
de tal vector se indica por //AB//.
Representar AB en 3 el vector cuyos extremos sonlos puntos A(1,3,4)  B(3,5, 6)
u = B-A =(3-1,5-3,6-4) = <2,2,2>
vector AB = u

Figura 1.4

z

B
A

u

Dos vectores que tienen la misma magnitud y la misma dirección, se dice que son
iguales sin importar su localización en el espacio. De esta manera, en la figura 1.4 se tiene
que AB= u. Se dice que los vectores son libres. Ello significa que un vector se puede
desplazar en el espacio siempre que...