APUNTESÁLGEBRA1 BINOMIO DE NEWTON

BINOMIO DE NEWTON

1. CONCEPTO
El teorema del binomio, también llamado como binomio de newton, expresa el desarrollo de la n-ésima potencia de un binomio como
un polinomio. El desarrollo del binomio (a + b)n posee singular importancia ya que aparece con mucha frecuencia en matemáticas y posee
diversas aplicaciones en otros campos del conocimiento.
1.1. FÓRMULA GENERAL DEL BINOMIO DE NEWTON
Sea n2 N y sea el binomio a + b,
(a + b)n =

n n
n n 1 1
a +
a b +
0
1

+

n
n

1

a1 b n

1

n n
b .
n

+

Equivalentemente, haciendo uso del símbolo de sumatoria, se puede
escribir de las formas:
(a+b)n =

n
X
n (n
a
k
k=0

k) k

ó

b

(a+b)n =

n+1
X
k=1

donde:
i) nk es el número combinatorio de…nido por:
n
k

=

n
k

1

an

(k 1) k 1

n!
.
k!(n k)!

ii) n! es el factorial de un número natural yestá de…nido como el
producto de todos los naturales menores o iguales a n, esto es
n! = 1:2:3:4:5:

:(n

2):(n

1):n

En adelante, siempre que se hable del desarrollo de (a + b)n , mantendremos el orden de los términos de su desarrollo tal como están
escritos.

1

b

1.2. OBSERVACIONES
A partir de la fórmula general del Binomio de newton, manteniendo el orden de los términos tal como estánescritos, se observa que:
a) El desarrollo de (a + b)n tiene n + 1 términos.
b) El exponente de a; en el primer término es n y en los siguientes
términos va decreciendo de 1 en 1 hasta llegar a ser 0 en el último
término.
c) El exponente de b; en el primer término es 0 y en los siguientes
términos va creciendo de 1 en 1 hasta llegar a ser n en el último
término.
d) En cada término del desarrollo de (a +b)n , los exponentes de
a y b suman n.
1.3. k-ÉSIMO TÉRMINO DEL DESARROLLO DE (a + b)n .
Se le llama asi, al término del desarrolo de (a + b)n que está en la
posición k y será denotado por Tkn , a saber:
Tkn =

n
k

1

an

(k 1) k 1

b

,

k = 1; 2; 3; : : : ; n; n + 1.

Tkn representa a cada uno de los n + 1 términos del desarrollo de
(a + b)n
Además, k n 1 es llamado el coe…ciente binomial delk-ésimo
término del desarrollo de (a + b)n y será denotado por coef (Tkn ),
esto es
coef (Tkn ) =

n
k

1

; k = 1; 2; 3; : : : ; n; n + 1:

1.4. SIMETRÍA DE LOS COEFICIENTES BINOMIALES DEL DESARROLLO DE (a + b)n .
Esta simetría se re…ere a que:
n
coef (T1n ) = coef (Tn+1
); coef (T2n ) = coef (Tnn ); coef (T3n ) = coef (Tnn 1 ); : : :
En símbolos,
8
, si n es impar
< k = 0; 1; 2; : : : ; n+1
2
nn
=
, donde
:
k
n k
k = 0; 1; 2; : : : ; n2 , si n es par
2

1.5. TÉRMINOS CENTRALES DEL DESARROLLO DE (a + b)n .
Se denominan asi al término o términos que ocupan la posición
central en el desarrollo de (a + b)n .
i) Si n es un número natural par, solo tendremos un único término
central, a saber: T nn+1
2
ii) Si n es un número natural impar, tendremos dos términos cenn
n
y T n+1
trales, a saber:T n+1
+1
2
2
En el siguiente teorema estableceremos la relación existente entre
los coe…cientes binomiales de los términos de los desarrollos de
(a + b)n+1 y (a + b)n .
1.6. TEOREMA
Si n 2 N y sea r un valor natural …jo, con r < n, entonces
n
n
n+1
coef (Tr+1
) + coef (Tr+2
) = coef (Tr+2
).

Equivalentemente,
n
n
+
r
r+1

=

n+1
.
r+1

Este teorema, nos indica que cada uno de los coe…cientesbinomiales de los términos del desarrollo de (a + b)n+1 se obtienen a
partir de los coe…cientes binomiales de dos términos consecutivos
del desarrollo de (a + b)n .

3

1.7. TRIANGULO DE PASCAL
Es llamado asi a un arreglo triángular de números naturales, que
se construye en base al teorema anterior y siguiendo los pasos:
p1) Como vértice superior se coloca un 1 que representa al único
coe…cientebinomial del desarrollo de (a + b)0 .
p2) En la segunda …la, se coloca dos 1 que representan a los dos
coe…cientes binomiales del desarrollo de (a + b)1 .
p3) Las demás …las, de la tercera para adelante, se obtienen: colocando un 1 al inicio y …nal de cada …la, y los números intermedios
se obtienen aplicando el teorema anterior .
(a + b)0

1
1
1
1
1
1
1
1
1

8

3

5
6

7

6

15

4

20

56

(a + b)5...