Arboles Decision

Fundamentos de Investigaci´n de Operaciones o Teor´ de Decisi´n ıa o
30 de marzo de 2004

En general, un tomador de decisiones debe escoger una acci´n ai entre un conjunto de acciones o disponibles A = {a1 , a2 , · · · , an }. De acuerdo al estado de naturaleza sj que ocurra, con probabilidad de ocurrencia pj dentro del universo de estados posibles S = {s1 , s2 , · · · , sm }, se obtendr´ unretorno a rij . La situaci´n anterior corresponde a un modelo en que el tomador de decisiones se enfrenta a la o naturaleza, por lo tanto, la ganancia o p´rdida que se obtenga depende exclusivamente de la decisi´n e o que se haya tomado.

1.

Criterios de Decisi´n bajo Incertidumbre o

Consideremos el siguiente ejemplo para ilustrar los cuatro principales criterios de decisi´n bajo oincertidumbre. Ejemplo 1 El propietario de un puesto de diarios debe decidir cu´ntos peri´dicos encargar para la a o venta. El due˜o del puesto debe pagar $200 pesos por cada diario para venderlos en $250 cada uno. n Los peri´dicos que no son vendidos durante el d´ se pierden. La experiencia dice que la demanda o ıa diaria var´ entre 6 y 10 peri´dicos, con id´ntica probabilidad de ocurrencia. Determine eln´mero de ıa o e u diarios que el propietario debe encargar. En el ejemplo, el conjunto de estados de la naturaleza S corresponde a {6, 7, 8, 9, 10} que representa los valores posibles de la demanda de peri´dicos. Como cada estado es equiprobable, se tiene que o 1 p6 = p7 = p8 = p9 = p10 = 5 . El propietario debe escoger el n´mero de peri´dicos a encargar a partir u o de las siguientesposibilidades A = {6, 7, 8, 9, 10}. Si el due˜o compra i peri´dicos y le demandan j, la funci´n de utilidad se puede escribir como: n o o rij rij = 250i − 200i = 50i (i ≤ j) = 250j − 200i (i > j)

De acuerdo a la expresi´n anterior es posible tabular los valores posibles de retorno o utilidad o (Cuadro ??). Dicha matriz se conoce como matriz de ganancias y es una representaci´n fundamental para el oan´lisis de un problema de decisiones. a

1.1.

Acciones Dominadas

¿ Porqu´ no se consider´ la posibilidad de comprar 1, 2, 3,4, 5 o m´s de 10 peri´dicos ? La respuesta e o a o a esta pregunta tiene que ver con el concepto de acciones dominadas. 1

Primer Semestre 2004 Demanda Oferta 6 7 8 6 300 300 300 7 100 350 350 8 −100 150 400 9 −300 −50 200 10 −500 −250 0

Teor´ de Decisi´n ıa o

9300 350 400 450 250

10 300 350 400 450 500

Cuadro 1.1: Matriz de Ganancias

Definici´n 1 Una acci´n ai es una acci´n dominada por la acci´n ai‘ si para todo sj ∈ S se tiene o o o o que rij ≤ ri‘j y para alg´n estado sj‘ se cumple que ri‘j < ri‘j . u Si una acci´n ai es dominada, no existe un estado de la naturaleza para el cual ai sea mejor que o ai‘ . Por lo tanto, si una acci´n es dominadano hay raz´n para incluirla en las decisiones posibles. o o Volviendo al ejemplo, las acciones de ordenar 1, 2, 3, 4 ´ 5 diarios est´n dominadas por la acci´n o a o de encargar 6 diarios, pues el beneficio de comprar 6 diarios (300) es siempre mayor a esas opciones, independientemente de la cantidad demandada. Similarmente, la acci´n de ordenar 11 o m´s peri´dicos est´ dominada por la acci´n deordenar 10 o a o a o diarios. Revisando las acciones del Cuadro ??, se puede verificar que ninguna de ellas est´ dominada. a

1.2.

Criterio Maximin

Para cada acci´n es posible determinar la peor situaci´n (beneficio m´ o o ınimo). El criterio Maximin selecciona la mejor opci´n entre las peores situaciones. o Definici´n 2 El criterio Maximin escoge la acci´n ai que maximiza el valor de minj∈Srij . o o Para el ejemplo en estudio, podemos construir el Cuadro ??. Peri´dicos o ordenados 6 7 8 9 10 Peor estado de la naturaleza 6, 7, 8, 9, 10 6 6 6 6 Retorno del peor estado de la naturaleza 300 100 -100 -300 -500

Cuadro 1.2: Matriz de Criterio Maximin Por lo tanto, la mejor acci´n ser´ la de ordenar 6 peri´dicos, con un beneficio asegurado de 300 o a o independientemente de la demanda....