area

Área
Es una medida de la extensión de una superficie, expresada en unidades de medida denominadas Unidades de superficie. Para superficies planas el concepto es más intuitivo. Cualquier superficie plana de lados rectos puede triangularse y se puede calcular su área como suma de las áreas de dichos triángulos. Ocasionalmente se usa el término "área" como sinónimo de superficie, cuando no existeconfusión entre el concepto geométrico en sí mismo (superficie) y la magnitud métrica asociada al concepto geométrico (área).

1. Área de figuras planas
Área de un triángulo

El área de un triángulo es igual al semi producto entre la longitud de una base y la altura relativa a esta:

Donde b es la base del triángulo y h es la altura correspondiente a la base. (se puedeconsiderar cualquier lado como base)
Si el triángulo es rectángulo, la altura coincide con uno de los catetos, con lo cual el área es igual al semiproducto de los catetos:

Donde a y b son los catetos.
Si se conoce la longitud de sus lados, se puede aplicar la fórmula de Herón.

Donde a, b, c son los valores de las longitudes de sus lados, s = ½ (a + b + c) es el semiperimetro del triángulo.
Si eltriángulo es equilátero, el área es igual a un cuarto del cuadrado de un lado por la raíz cuadrada de 3:

Donde a es un lado del triángulo.



Área de un cuadrilátero

El área del trapezoide o de cualquier cuadrilátero es igual al semiproducto de sus diagonales por el seno del ángulo que forman.

El área también se puede obtener mediante triangulación:

Siendo:
El ángulo comprendidoentre los lados y .
El ángulo comprendido entre los lados y .
El rectángulo es un paralelogramo cuyos ángulos son todos de 90º, y el área es igual al producto de dos de sus lados contiguos a y b:4

El rombo es un paralelogramo, cuyos 4 lados son iguales, y tiene su área dada por el semiproducto de sus dos diagonales:

El cuadrado es el polígono regular de cuatro lados; es a la vez unrectángulo y un rombo, por lo que su área puede ser calculada de la misma manera que la de estos dos. En particular, dado que sus lados son iguales, se usa la fórmula:4

El romboide tiene su área dada por el producto de uno de sus lados y su altura respectiva:4

El trapecio, el cual tiene dos lados opuestos paralelos entre sí y dos lados no paralelos, tiene un área que viene dada por la mediaaritmética de sus lados paralelos multiplicado por la distancia entre ellos (altura):4


Área del círculo y la elipse

El área de un círculo, o la delimitada por una circunferencia, se calcula mediante la siguiente expresión matemática:5

El área delimitada por una elipse es similar y se obtiene como producto del semieje mayor por el semieje menor multiplicados por π:6

Área delimitada entre dosfunciones

Una forma para hallar el área delimitada entre dos funciones, es utilizando el cálculo integral:

El resultado de esta integral es el área comprendida entre las curvas: y en el intervalo.
Ejemplo
Si se quiere hallar el área delimitada entre el eje x y la función en el intervalo, se utiliza la ecuación anterior, en este caso: entonces evaluando la integral, se obtiene:

Por loque se concluye que el área delimitada es .
2. Área de superficies curvas
El área de una superficie curva es más complejo y en general supone realizar algún tipo de idealización o límite para medirlo.
Cuando la superficie es desarrollable, como sucede con el área lateral de un cilindro o de un cono el área de la superficie puede calcularse a partir del área desarrollada que siempre es una figuraplana. Una condición matemática necesaria para que una superficie sea desarrollable es que su curvatura gaussiana sea nula.

Cuando la superficie no es desarrollable, el cálculo de la superficie o la fórmula analítica para encontrar dicho valor es más trabajoso. Un ejemplo de superficie no desarrollable es la esfera ya que su curvatura gaussiana coincide con el inverso de su radio al...