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Eleazar J. García
MÓDULO 1 INTEGRALES INDEFINIDAS
Usted está familiarizado con algunas operaciones inversas. La adición y la sustracción son operaciones inversas, la multiplicación y la división son también operaciones inversas, así como la potenciación y la extracción de raíces. Ahora, conocerá la operación inversa la de derivación o diferenciación denominadaantiderivación o antidiferenciación, la cual implica el cálculo de una antiderivada. Antiderivada. Una función F se denomina antiderivada de una función f en un intervalo I si F ′( x) = f ( x) para todo x ∈ I . Ejemplo. Si F es la función definida por F ( x) = 4 x 3 + x 2 + 5, entonces F ′( x) = 12 x 2 + 2 x. De modo que si f ( x) = 12 x 2 + 2 x, entonces f es la derivada de F, y F es la antiderivada de f.Si G es la función definida por G ( x) = 4 x3 + x 2 − 17, entonces G también es una antiderivada de f, porque G ′( x) = 12 x 2 + 2 x. En realidad, cualquier función H definida
por H ( x) = 4 x 3 + x 2 + C , donde C es una constante, es una antiderivada de f.
Teorema 1. Si f y g son dos funciones definidas en el intervalo I, tales que f ′( x) = g ′( x) para todo x ∈ I , entonces existe unaconstante K tal que f ( x ) = g ( x ) + K para todo x ∈ I .
“La antiderivación o antidiferenciación es el proceso mediante el cual se determina el conjunto de todas las antiderivadas de una función dada. El símbolo
∫
denota la operación de antiderivación, y se escribe
F ′( x ) = f ( x ) y d ( F ( x ) ) = f ( x ) dx ”.
∫ f ( x) dx = F ( x) + C ,
donde
En la igualdad
∫ f ( x) dx = F ( x) + C , x esla variable de integración,
f ( x ) es el
integrando y la expresión F ( x) + C recibe el nombre de antiderivada general o integral indefinida de f. Si { F ( x ) + C} es el conjunto de todas las funciones cuyas diferenciales sean f ( x ) dx, también es el conjunto de todas las funciones cuya derivada es f ( x ).
Teorema 2.
∫
dx = x + C .
1
Integrales Indefinidas Teorema 3.
Eleazar J.García
∫
∫[
∫[
af ( x ) dx = a
∫
f ( x ) dx, donde a es una constante.
Teorema 4. Si las funciones f y g están definidas en el mismo intervalo, entonces
f ( x) + g ( x ) ] dx =
∫
f ( x) dx +
∫
g ( x ) dx.
Teorema 5. Si las funciones f1 , f 2 , f 3 ,… , f n están definidas en el mismo intervalo, entonces
c1 f1 ( x ) + c2 f 2 ( x ) + c3 f 3 ( x ) + … + cn f n ( x) ] dx = c1
∫
f1 ( x ) dx + c2∫
f 2 ( x ) dx + c3
∫
f 3 ( x ) dx + … + cn
∫
f n ( x ) dx,
donde c1 , c2 , c3 ,… , cn son constantes. Teorema 6. Si n es un número racional, entonces
∫
∫
x n dx =
x n +1 +C n +1
n ≠ − 1.
Ejemplos. 1) Evalúe Solución.
∫
(5x
4
− 8 x 3 + 9 x 2 − 2 x + 7 ) dx
∫
(5x
4
− 8 x 3 + 9 x 2 − 2 x + 7 ) dx = 5
∫
x 4 dx − 8
x 3 dx + 9
∫
x 2 dx − 2
∫
x dx + 7
∫
dx
=5⋅
x5 x4 x3 x2 −8⋅ + 9⋅ − 2⋅ + 7x + C 5 4 3 2
= x5 − 2 x4 + 3 x3 − x2 + 7 x + C
2) Calcule Solución.
∫
1 x x + dx x
∫
1 x x + dx = x
∫
x
1
2
(x+ x
−1
) dx =
∫
(
x +x
3 2
−1
2
)
dx =
x
5
2
5 2
+
x
1
2
1 2
2 + C = 5 x 2 + 2x 2 + C
5 1
3) Determine
∫
5t 2 + 7 dt 4 t3
2
Integrales Indefinidas Solución.
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∫
5t 2 + 7 dt = 5 4 t3
∫
5
t2 4 dt + 7t3
−1 3
∫
2 −4 1 t3 t 3 dt = 5 t 3 dt + 7 t 3 dt = 5 ⋅ 5 + 7 ⋅ 1 + C 4 −3 t3 3
∫
∫
5
−1
= 3t 3 − 21t
+ C = 3t 3 −
5
21 1 +C t3
Los teoremas para las integrales indefinidas de las funciones trigonométricas seno, coseno, secante al cuadrado, cosecante al cuadrado, secante por tangente y cosecante por cotangente, son deducciones inmediatas de los teoremas correspondientes de diferenciación.A continuación se presentan tales teoremas.
Teorema 7.
∫
sen x dx = − cos x + C
Teorema 8.
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
cos x dx = sen x + C
Teorema 9.
sec 2 x dx = tg x + C
Teorema 10.
csc 2 x dx = − cotg x + C
Teorema 11.
sec x tg x dx = sec x + C
Teorema 12.
csc x cotg x dx = − csc x + C
Ejemplos.
1) Evalúe
∫
( 3 sec x tg x − 5 csc
2
x + 8 sen x ) dx
3
Integrales Indefinidas Solución....
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