Arimetica

TEMA 5. NÚMEROS RACIONALES
Introducción:
Hasta ahora hemos estudiado los números naturales , y los números enteros . Los
naturales nos servían para representar cantidades positivas contables y con ellos
podíamos sumar y multiplicar en todos los casos, pero no siempre podíamos restarlos
o dividirlos de forma exacta. Con los números enteros se consigue solucionar el
problema de no podersiempre restar dos números. Sin embargo, sigue sin poderse
hacer la división exacta de números enteros en todos los casos. Necesitamos por tanto
ampliar el conjunto de los números enteros con una clase de números que siempre
puedan dividirse obteniendo como resultado un número de la misma clase. Para ello
aparecen los números racionales, que denotaremos por .
El número racional, como número quees, es un concepto abstracto y se necesita para
llegar a su definición de otro concepto más concreto, que es el concepto de fracción,
que definimos a continuación.
Fracción: es un par ordenado de números enteros con la condición de que el segundo
sea distinto de cero.
Se representa
A

se le llama numerador y a

denominador.

Como los números que forman la fracción son números enteros,podemos hablar del
signo de una fracción.
Una fracción es positiva cuando el numerador y el denominador tienen el mismo
signo. En caso de ser negativo el signo de ambos, puede omitirse, resultando una
fracción equivalente (más adelante se definirá este término con mayor exactitud).
Una fracción es negativa cuando el numerador y el denominador tienen distinto signo.
En tal caso, el signo puedeescribirse delante de la fracción, dejando el numerador y
denominador como números naturales

Interpretación de las fracciones:
Las fracciones pueden tener significado en distintos contextos representando alguna
de las siguientes situaciones:


Partes de un todo: un todo o unidad se divide en
consideran de esas partes.




Cociente de enteros: resolver una igualdad del tipo
.Razón: simboliza la relación entre dos cantidades (por ejemplo,
cada cuatro alumnos de esta clase va a aprobar)

partes iguales de las que se

: tres de

Representaciones:
Como apoyo gráfico en la representación de las fracciones para su mejor comprensión
se utilizan principalmente los dos modelos a continuación descritos.


Recta numérica: se divide la unidad en tantas partes igualescomo indique el
denominador, se colocan a partir del 0 tantas partes como indique el
numerador.



Modelo de áreas: se divide la figura en tantas partes iguales como indique el
denominador y se señalan tantas como indique el numerador.

Equivalencia de fracciones:
Utilizando el modelo de áreas se pueden representar las siguientes fracciones:

Las fracciones ,
equivalentes.

,

yrepresentan la misma relación entre la parte y el todo, son

Formalmente, dos fracciones

y

son equivalentes si y sólo si

.

Todas las fracciones que son equivalentes entre sí representan a un mismo número
racional.
Multiplicando o dividiendo numerador y denominador por un mismo número, se
obtienen fracciones equivalentes entre sí. En el caso de dividir por un mismo número,éste debe obviamente ser un divisor común a numerador y denominador.

Cuando se divide por todos los divisores comunes posibles, se obtiene una fracción en
la que ambos miembros no tienen divisores comunes, es decir, m.c.d.(numerador,
denominador)=1. A este tipo de fracciones se le llama fracción irreducible.
Toda fracción tiene una fracción irreducible equivalente (y sólo una). Dividiendo porlos divisores comunes a numerador y denominador podemos hallar dicha fracción, que
representa al mismo número racional. También puede hacerse en un único paso
dividiendo ambos miembros entre su máximo común divisor. Esto equivale a realizar la
descomposición en factores primos de numerador y denominador y simplificar los
factores comunes de ambas descomposiciones. Por ejemplo,

Fracciones...