Aritmetica Modular

ARITMÉTICA MODULAR
EJEMPLO 1 5  0 , 1 , 2 , 3 , 4 0  . . . , 10, 5, 0, 5, 10, . . . 1  . . . , 9, 4, 1, 6, 11, . . . 2  . . . , 8, 3, 2, 7, 12, . . . 3  .. . , 7, 2, 3, 8, 13, . . . 4  . . . , 6, 1, 4, 9, 14, . . . 5  . . . , 5, 0, 5, 10, 15, . . . SUMA: x  y  x  y 2 2 2 2 4 2 2     4 0 5 3 2  24  6  1 2  7  2  5  0 3 es el inverso aditivo de 2 4  2  4  3  2      x: x: x: x: x:
x 5 x 5 x 5 x 5 x 5



x:

x 5

tiene como residuo 0tiene como residuo 1 tiene como residuo 2 tiene como residuo 3 tiene como residuo 4 tiene como residuo 0

3  1 4 3 2  2  4

1. conmutativa: x  y  y  x2. asociativa: x  y  z  x  y  z 3. neutro: x  e  x e0 4. inverso: x  x  e RESTA (sumar el inverso): x MULTIPLICACIÓN: x y  x 2 4 2 4 8  3 2 1  2 1 23  1 2  3 1 4 4  1 4  4 1. conmutativa: x y  y x 2. asociativa: x y z  x 3. neutro: x e  x 4. inverso: x x 1  e y  x  y y

y z e1

En 6  0 , 1 ,2 , 3 , 4 , 5 8 35  8  2 tiene 2 de residuo 6 3 5  31  4 2 3 5  2 4 es 1 entero y tiene 4 de residuo 6

1

3

5  15  3

5 5  2 0  2 1  2 2 2 3  2 4  2 5  2/5 2 5/2 5 2/2 2 4/2 4

1 5  5 0 2 4 0 8  2 1 10  4 2 no existe 1 5  2 5  10  4 2 2 2
1 1 1

15 6 1

tiene 3 de residuo

noexiste no existe no existe y
1 1

DIVISIÓN: x / y  x TEOREMA En
n,

x

existe si y sólo si x y n son primos relativos.

EJEMPLO 2 1 En 16 sí existe 131 En 16 no existe 12 16 y 12 comparten al 2 como divisor 1 1 En 16 sí existe 17  1  1 1 En 16 sí existe 9 1 81 1 9  9 9 9  81  1  5  16 16

2