Aritmetica modular

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Aritmética modular
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Cubierta de la edición original de Disquisitiones arithmeticae de Gauss, libro fundamental de la aritméticamodular.

En matemática, la aritmética modular es un sistema aritmético para clases de equivalencia de números enteros llamadas clases de congruencia. Algunas veces se le llama, sugerentemente,aritmética del reloj, ya que los números «dan la vuelta» tras alcanzar cierto valor llamado módulo). La aritmética modular fue introducida en 1801 por Carl Friedrich Gauss en su libro DisquisitionesArithmeticae.
Contenido
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* 1 Relación de congruencia
* 2 Aplicaciones de la aritmética modular
o 2.1 En el arte
* 3 Algunas consecuencias del uso en matemática
* 4Véase también
* 5 Enlaces externos

[editar] Relación de congruencia

La aritmética modular puede ser construida matemáticamente mediante la relación de congruencia entre enteros, que escompatible con las operaciones en el anillo de enteros: suma, resta, y multiplicación. Para un determinado módulo n, ésta se define de la siguiente manera:

a y b se encuentran en la misma "clase decongruencia" módulo n, si ambos dejan el mismo resto si los dividimos por n, o, equivalentemente, si a − b es un múltiplo de n.

Esta relación se puede expresar cómodamente utilizando la notación deGauss:

a\equiv b\ \pmod{n}

Así se tiene por ejemplo

63\equiv 83\ \pmod{10}

ya que ambos, 63 y 83 dejan el mismo resto (3) al dividir por 10, o, equivalentemente, 63 − 83 es unmúltiplo de 10. Se lee:

«63 es congruente con 83, módulo 10», o «63 y 83 son congruentes uno con otro, módulo 10».

«Módulo» a veces se abrevia con la palabra «mod» al hablar, igual que como alescribir. En Latín, la lengua de los escritos de Gauss, módulo es el caso ablativo de modulus. El número n, que en este ejemplo es el 10, es el modulus.

Por ejemplo, cuando el módulo es 12, entonces...
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