Arte y Diseño

Movimiento circular uniforme
El movimiento circular uniforme es aquel movimiento circular en el que un cuerpo se desplaza alrededor de un punto central, siguiendo la trayectoria de una circunferencia, de tal manera que en tiempos iguales recorra espacios iguales. No se puede decir que la velocidad es constante ya que, al ser una magnitud vectorial, tiene módulo, dirección y sentido: el módulode la velocidad permanece constante durante todo el movimiento pero la dirección está constantemente cambiando, siendo en todo momento tangente a la trayectoria circular. Esto implica la presencia de una aceleración que, si bien en este caso no varía al módulo de la velocidad, sí varía su dirección.
Desplazamiento angular y velocidad angular
El desplazamiento angular es la longitud del arco decircunferencia por unidad de radio

La longitud del arco y el radio de la circunferencia son magnitudes de longitud, por lo que el desplazamiento angular es una magnitud adimensional, llamada radián. Un radián es un arco de circunferencia de longitud igual al radio de la circunferencia, y la circunferencia completa tiene 2π radianes.
La velocidad angular es la variación del desplazamientoangular por unidad de tiempo:

Partiendo de estos conceptos se estudian las condiciones del movimiento circular uniforme, en cuanto a su trayectoria y espacio recorrido, velocidad y aceleración, según el modelo cinemático.
Sistema de referencia
Se considera un sistema de referencia en el plano XY, con vectores unitarios en el sentido de estos ejes , que es un sistema inercial. Sin pérdida de lageneralidad, se toma el centro de giro del movimiento en el origen de coordenadas.
Se toma un segundo sistema de referencia , con el mismo centro de coordenadas, un eje radial que partiendo del centro de coordenadas pasa en todo momento por la posición de la partícula y un eje tangencial que pasando por el centro de coordenadas, es perpendicular al eje radial, cuando el ángulo de giro es cero, eleje x coincide con el radial y el eje y con el tangencial y para un ángulo dado, se cumple:


Trayectoria o vector de posición

La posición de la partícula en función del ángulo de giro y del radio r es en un sistema de referencia cartesiano xy:


El vector de posición de la partícula será:

Al ser un movimiento uniforme, a incrementos de tiempo iguales le corresponden desplazamientosiguales, lo que se traduce en:

esto es:

Según todo lo anterior el vector de posición de la partícula en función del tiempo es:

donde:
: es el vector de posición de la partícula.
: es el radio de giro.
: es la velocidad angular, que es constante en este caso.
: es el tiempo.
Partiendo del vector de posición en el sistema xy, vamos a pasarlo al sistema de coordenadas de versores: , detal modo que veamos sus componentes en estas coordenadas, la conclusión es muy sencilla y con un poco de ingenio podíamos llegar a ella sin realizar los operaciones, pero hagámoslo de un modo sistemático, por sustitución de los versores de un sistema por los del otro, partimos del vector posición:

sustituimos sus vectores por su equivalencia en el otro sistema:

deshacemos los paréntesis:agrupando:

simplificando:

Llegando a la conclusión de que el vector de posición tiene por coordenada el valor del radio, según el vector radial, y no tiene componente tangencial, como ya se ha dicho en un principio esta conclusión es obvia, y por propia intuición se podía haber visto sin realizar los cálculos, pero con este mismo método calcularemos la velocidad y la aceleración y veremosque las conclusiones no son tan evidentes.
Velocidad
Partiendo del vector de posición y de la definición de velocidad:
1.
2.
tenemos:

Realizando la derivada:

Éste es el vector velocidad, vamos a cambiar de sistemas de coordenadas para conseguir sus componentes según el sistema radial tangencial:

deshaciendo paréntesis:

agrupando por vectores unitarios:

simplificando:

La...