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Introducci´n a la Inform´tica o a

Ejercicios resueltos tema 2: EDO’s aplicadas a la Biolog´ ıa

EJERCICIO 1.a): Obtener la soluci´n general de las siguientes ecuaciones diferenciales: o y (1) y = − (9) (1 + t)y = y t √ (2) y = 3t + 1 (10) y = 4ty (3) (4) (5) (6) (7) (8) y = cos(2t)y y = ln(3t)y y = 3y y = −4ty 2 y = 2t y2 (11) (12) (13) (14) (15) (16) (t2 + 1)y + ty = 0 y y = √ t 1 + t2 y =−t 1+y y = y2 − 1 y = −y + y 2 y = y − y3

y = t2 y

(1) y = −

y t Se trata de una ecuaci´n de variables separables, ya que se puede escribir, cuando sea y = 0: o 1 1 y =− . y t Integrando en ambos miembros de la igualdad se tiene: 1 dy = − y 1 dt t ⇐⇒ ln |y| = − ln |t|+ln C = ln | C | t ⇐⇒ y= C , t C ∈ R arbitraria.

La soluci´n constante y = 0, que es trivialmente soluci´n de laecuaci´n, est´ incluida en la o o o a soluci´n general para el valor de la constante arbitraria C = 0. o √ (2) y = 3t + 1 Se trata simplemente de integrar en ambos miembros, puesto que las variables est´n ya separadas: a √ √ 2 9 (3t + 1)1/2 dt y = 3t + 1 ⇐⇒ dy = 3t + 1 dt = 9 2 luego la soluci´n general es o 2 y = (3t + 1)3/2 + C, 9 (3) y = cos(2t) y Separando las variables se tiene, para y = 0, 1 y =cos(2t) y ⇐⇒ 1 dy = y cos(2t) dt = 1 2 2 cos(2t) dt ⇐⇒ ln |y| = 1 sen(2t)+ln C. 2 C ∈ R arbitraria.

Tomando exponenciales en ambos miembros de esta igualdad se tiene y = ±eln C esen(2t)/2 , de donde, puesto que ±eln C es en s´ misma una constante cualquiera, se puede escribir la soluci´n ı o general como y = C esen(2t)/2 , C ∈ R arbitraria. La soluci´n constante y = 0, que es trivialmentesoluci´n de la ecuaci´n, est´ incluida en la o o o a soluci´n general para el valor de la constante arbitraria C = 0. o
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1

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(4) y = ln(3t) y Separando las variables se tiene, para y = 0, 1 y = ln(3t) y ⇐⇒ 1 dy = y ln(3t) dt.

La integral del segundomiembro se calcula por partes: eligiendo u(t) = ln(3t) y v (t) = 1 (de 1 donde u (t) = , y v(t) = t) y aplicando la f´rmula de la integraci´n por partes, o o t u(t)v (t) dt = u(t)v(t) − se tiene, en este caso: ln |y| = ln(3t) dt = t ln(3t) − dt = t ln(3t) − t + C. u (t)v(t) dt,

Tomando exponenciales, y renombrando, como habitualmente, la constante arbitraria, se tiene la siguiente expresi´n parala soluci´n general de la ecuaci´n: o o o y = C e−t et ln(3t) = C e−t eln(3t)
t

= C e−t (3t)t = C

1 (3t)t = C et

3t e

t

,

C ∈ R arbitraria,

que contiene, para el valor de la constante C = 0, a la soluci´n constante y = 0. o (5) y = 3y Es una ecuaci´n de variables separables, luego, para y = 0, o y = 3y ⇐⇒ 1 y =3 y ⇐⇒ 1 dy = y 3 dt ⇐⇒ ln |y| = 3t + C

de donde la soluci´ngeneral es o y = C e3t , que contiene a la soluci´n constante, y = 0. o (6) y = −4ty2 Separando las variables, se tiene, para y = 0, 1 y = −4t y2 ⇐⇒ 1 dy = − y2 4t dt ⇐⇒ − 1 = −2t2 + C y ⇐⇒ 1 = 2t2 + C y C ∈ R arbitraria,

de donde, despejando la y se tiene la siguiente expresi´n de la soluci´n general, o o y= 1 , 2t2 + C C ∈ R arbitraria.

La ecuaci´n y = −4ty 2 tiene, adem´s, la soluci´nconstante y = 0, que no est´ inclu´ en o a o a ıda la expresi´n de la soluci´n general antes obtenida. o o (7) y = 2t y2 Multiplicando por y 2 en ambos miembros de la ecuaci´n se tiene o y 2 y = 2t ⇐⇒ y 2 dy = 2t dt ⇐⇒ 1 3 y = t2 + C 3 ⇐⇒ y 3 = 3t2 + 3C,

y renombrando la constante arbitraria se puede escribir la soluci´n general en la forma o y=
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3

3t2 + C, 2

C ∈ R arbitraria.Licenciatura en Biolog´ ıa

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(8) y = t2 y Para y = 0 se puede escribir, dividiendo por y, y = t2 y ⇐⇒ 1 dy = y t2 dt ⇐⇒ 1 ln |y| = t3 + C 3 ⇐⇒ y = C et
3 /3

,

C ∈ R,

en la que est´ incluida la soluci´n constante y = 0. a o (9) (1 + t)y = y Ecuaci´n de variables separables, que puede...