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MOISES VILLENA

Vectores en R3

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1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 Definición Enfoque geométrico Igualdad Operaciones Aplicaciones
Objetivos.
• • •

Se persigue que el estudiante: Represente geométricamente un vector de R 3 Determine magnitud y dirección de un vector. Sume vectores, multiplique por un escalar a un vector, obtenga el productor escalar y el producto vectorial entre vectores Obtenga elárea de un paralelogramo sustentados por dos vectores. Obtenga el volumen del paralelepípedo sustentado por tres vectores.

• •

1

MOISES VILLENA

Vectores en R3

Tomando como referencia la teoría de vectores en el plano, se obtienen definiciones y propiedades de los vectores en el espacio. 1.1 DEFINICIÓN

Un vector de R 3 es una terna ordenada de números reales. Denotada de lasiguiente manera:


v = ( x, y , z )

1.2 ENFOQUE GEOMÉTRICO Geométricamente a un vector de R como un segmento de recta dirigido.
3

se lo representa en el Espacio

Suponga que se tienen los puntos P ( x1 , y1 , z1 ) y P2 ( x2 , y 2 , z 2 ) . Si 1 trazamos un segmento de recta dirigido desde P 1
→ ⎯ ⎯→

hacia P2 tenemos una

representación del vector v = P P2 = ( x2 − x1 , y 2 − y1 , z1− z 2 ) 1
z

P2 = ( x2 , y 2 , z 2 )


v

P1 = ( x1 , y1 , z1 )
y

x

Este vector puede tener muchas otras representaciones equivalentes en el espacio. Una representación equivalente útil es aquella que se realiza ubicando al vector con el origen como punto de partida.
z

P ( x, y , z )


v

y

x

2

MOISES VILLENA

Vectores en R3

1.2.1 Magnitud o norma

Sea v =( x, y, z ) . La magnitud o norma de v denotada como v , se define como:








v = x2 + y2 + z 2

Note que la norma sería la longitud del segmento de recta que define el vector. Es decir, sería la distancia entre los puntos que lo definen. Para v = ( x2 − x1 , y 2 − y1 , z 2 − z1 ) sería:




v =

(x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2 + (z 2 − z1 )2

1.2.2 Dirección

Ladirección de v = ( x, y, z ) está definida por la medida de los ángulo que forma la línea de acción del segmento de recta con los ejes x , y , z
z





γ

v

α

β
y

x

Los ángulos α , β y γ son llamados Ángulos Directores.

3

MOISES VILLENA

Vectores en R3

Observe que:
Cosα = x


=

x x2 + y2 + z2

v y


Cosβ =

=

y x + y2 + z2
2

v y


Cosγ =

=y x2 + y2 + z2

v

Ejercicio.
Demostrar que cos
2

α + cos 2 β + cos 2 γ = 1

1.2.3 Sentido

El sentido de v lo define la flecha dibujada sobre el segmento de recta.
1.3 IGUALDAD DE VECTORES DE R
→ 3



Dos vectores v1 = (x1 , y1 , z1 ) y v2 = (x2 , y 2 , z 2 ) son iguales si y sólo si x1 = x2 , y1 = y2 y z1 = z 2
1.4 OPERACIONES 1.4.1 Suma
3 Sean v1 y v2 dos vectores de Rtales que







v1 = ( x1 , y1 , z1 ) y v2 = ( x2 , y2 , z 2 ) entonces la
suma de v1 con v2 , denotada como v1 + v2 , se define como:
→ →









v1 + v2 = ( x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z 2 )





4

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Vectores en R3

1.4.1.1 Propiedades

Sean v1 , v2 y v3 vectores de R 3 , entonces:
1. 2. 3.







v1 + v2 = v2 + v1



→→



la suma es conmutativa la suma es asociativa
→ →

→ → → → → → v1 + ⎛ v2 + v3 ⎞ = ⎛ v1 + v2 ⎞ + v3 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝
→ 3 →

∃ 0 ∈ R , ∀ v ∈ R tal que v + 0 = v ,
3



Donde 0 = (0,0,0 ) es llamado Vector Neutro 4.
→ → → → ∃⎛ − v ⎞ ∈ R 3 tal que v + ⎛ − v ⎞ = 0 ∀v∈R , ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3



Donde ⎜ − v ⎟ es llamado Vector Inverso Aditivo de v

⎛ ⎝



⎞ ⎠

→Geométricamente:

z



v1 = ( x1 , y1 , z1 )

v 1
v2 = (x2 , y 2 , z 2 )


+





v

2

y

x
→ →

Los vectores v1 y v2 sustentan un paralelogramo, el vector de la diagonal mayor es el Vector Suma y el vector de la diagonal menor es el Vector Diferencia.

1.4.2 Multiplicación por escalar

Sea α ∈ R y v = ( x, y, z ) un vector de R 3 entonces:



α v =...
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