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TRINOMIO CUADRADO PERFECTO / EJERCICIOS RESUELTOS


EJEMPLO 1: (Términos positivos)


x2  +  6x  +  9 = (x + 3)2

x                3
      2.3.x
         6x

Busco dos términos que sean "cuadrado" de algo. Son: x2 y 9. Entonces "bajo" la x y el 3 (las bases). Luego verifico 2.x.3 = 6x ("doble producto del primero por el segundo"). Dió igual que el otro término. El polinomio esun cuadrado "perfecto". El resultado de la factorización es la suma de las bases elevada al cuadrado: (x + 3)2 


EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1 




EJEMPLO 2: (Con el "1")


x2 + 2x + 1 = (x + 1)2

x            1
    2.1.x
      2x

Recordemos que el "1" es cuadrado (de "1" y "-1"). Las bases son: x y 1.
La verificación de que es "perfecto" es 2.x.1 = 2x.
El resultado es (x + 1)2EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 2




EJEMPLO 3: (Con fracciones)


x2  +   8/3 x  +  16/9 = (x + 4/3)2

x                      4/3
      2. 4/3 . x
        8/3 x

La fracción 16/9 es cuadrado de 4/3. Las bases son x y 4/3.


EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 3




EJEMPLO 4: (Con un término negativo)


x2   -  10x   +   25 = (x - 5)2

x                   (-5)
      2.(-5).x         -10x

Tomo como bases a "x" y "(-5)", ya que (-5)2 también es 25. Y con (-5), la verificación del doble producto dá bien. El resultado es la suma de las bases, al cuadrado. O sea (x + (-5))2 , que es igual a (x - 5)2. 


EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 4




EJEMPLO 5: (Desordenado)


 x     +     x2   +    1/4 = (x + 1/2)2

              x          1/2
 2.x.1/2
    x

No siempre están losdos cuadrados en los extremos. Las bases son "x" y "1/2", y el doble producto está en el primer término.


EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 5




EJEMPLO 6: (Con un número multiplicando a la x2)


9x2  +  30x  +  25 = (3x + 5)2

3x                  5
       2.5.3x
          30x

Las bases son 3x y 5, ya que (3x)2 dá 9x2. En este caso hay un número acompañando a la letra que está alcuadrado. Para que el término sea uno de los cuadrados que buscamos, ese número también tiene que ser un cuadrado (4, 9, 16, 25, etc.).
CUATRINOMIO CUBO PERFECTO / EJERCICIOS RESUELTOS




EJEMPLO 1: (Todos los términos son positivos)

x3   +   6x2   +   12x   +   8  =  (x + 2)3

x                                  2
         3.x2.2     3.x.22
          6x2         12x


Las bases son x y 2.Los dos "triple-productos" dan bien (6x2 y 12x).
El resultado de la factorización es "la suma de las bases, elevada al cubo".


EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1




EJEMPLO 2: (Con términos negativos)

x3   -   9x2   +   27x   -   27  =  (x - 3)3

x                                 -3
     3.x2.(-3)    3.x.(-3)2
        -9x2          27x


Las bases son x y -3, ya que (-3)3 es igual a-27.
Y los dos "triple-productos" dan bien.
El resultado es (x + (-3))3, que es igual a (x - 3)3


EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 2 




EJEMPLO 3: (Con todos los términos negativos)

-x3    -    75x    -    15x2    -    125 = (-x - 5)3

-x                                          -5
       3.(-x)2.(-5)   3.(-x).(-5)2 
            -15x2        -75x


Las bases son -x y -5, ya que(-x)3 es igual a -x3, y (-5)3 es igual a -125. Los dos "triple-productos" dan con los signos correctos. El resultado es
(-x + (-5))3, que es igual a (-x -5)3.


EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 3




EJEMPLO 4: (Con fracciones)

x3   +   3/2 x2   +   3/4 x   +   1/8 = (x + 1/2)3

x                                        1/2
        3.x2. 1/2    3.x.(1/2)2
          3/2 x2       3/4 x

Las basesson x y 1/2, ya que (1/2)3 es igual a 1/8.


EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 4




EJEMPLO 5: (Con un número multiplicando a la x3)

64x3  +  144x2  +  108x  +  27 = (4x + 3)3

4x                                   3
          3.(4x)2.3   3.4x.32
            144x2     108x
Las bases son 4x y 3. Porque (4x)3 es igual a 64x3, y 33 es igual a 27. El número que multiplica a la x3 debe...