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Universidad Nacional de Ingeniería
UNI-NORTE
Estelí, Nicaragua

Integral indefinida. Métodos de integración

“La Educación es una obra de infinito amor”

[pic] [pic]

[pic]

Integral indefinida. Métodos de integración.

El cálculo integral tiene sus orígenes en la antigua Grecia, uno de los principalesproblemas de su origen fue poder calcular áreas de regiones limitadas por curvas.

Cauchy, a principios del siglo XIX; Riemann, a mediados del mismo siglo; y Lebesgue, a principios del siglo XX, han sido los matemáticos a cuyos esfuerzos se deben los sucesivos refinamientos que ha tenido la teoría de la medida como continuación natural del cálculo integral.

[pic][pic]

[pic]

UNIDAD I. “LA INTEGRAL INDEFINIDA. MÉTODOS DE
INTEGRACIÓN”

INTRODUCCIÓN

El análisis matemático está constituido por dos grandes ramas: El Cálculo Diferencial y El Cálculo Integral. Estas dos grandes ramas, surgieron en distintas épocas, por distintasmatemáticos y para resolver distintos problemas.

EL CÁLCULO INTEGRAL

La palabra Integrar tiene dos acepciones, la más profunda y fundamental coincide con el significado corriente de la palabra: se usa para indicar el “total de algo” o “una suma de partes”.

El segundo significado de la palabra integrar en matemáticas es “hallar una función conociendo su derivada”. En esta unidad se estudiará elproceso inverso, es decir, dada la derivada de [pic] , hallar la función [pic].

PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN

Una función [pic] es una antiderivada de otra función [pic], se cumple que [pic]

La antiderivada de una función también se conoce con el nombre de primitiva de la función.

Las antiderivadas de una función[pic]no son únicas, ya que forman una familia de funciones cuya representacióngráfica se diferencia una de otra solamente en un número.

Ejemplo:

[pic] es una antiderivada de [pic]

[pic]. Algunas son: [pic]
[pic]
[pic]
[pic]

Al conjunto de todas las antiderivadas de una función f; se le llama integral indefinida de f y se representa por el símbolo [pic].

Ejemplo:
[pic]Familia de Derivadas
Simbólicamente la integral indefinida será [pic]aldespejar dy se obtiene [pic],entonces [pic]

INTEGRAL INDEFINIDA. DEFINICIÓN

[pic] sí y solo sí [pic] es la constante de integración

Significado de la notación de la integral indefinida:

[pic]

[pic]Denota la variable respecto a la cual se realiza el proceso de integración

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA

1. Factor de Integración

[pic]

2. Integral de una constante[pic]

Ejemplo:

[pic]

3. Integral Indefinida de una Potencia

[pic] si n es un número racional, entonces para[pic] .

Ejemplo:

a. [pic][pic]
b. [pic]
c. [pic]
d.
4. Integral del múltiplo constante

[pic].

Ejemplo:

[pic][pic]

5. Integral de una suma o diferencia algebraica de dos ó más funciones

Ejemplo:

[pic]

Nota Aclaratoria. Otraalternativa de solución es considerar la suma y/o diferencia algebraica de funciones como una sola función, procediendo a integrar de forma directa.

Ejemplo:

[pic]

6. Integral de la Función Nula

[pic]

PROPIEDADES ADICIONALES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA

7. [pic]

Ejemplo:

[pic]

8. [pic]

Ejemplo:

a. [pic]

b. [pic]

9. [pic]

Ejemplo:

[pic]Observación.

Al calcular la integral indefinida no importa cual sea el símbolo empleado para la variable de integración, ya que por ejemplo [pic], entre otras, dan lugar a la misma función F.

Ejercicios Propuestos

I- Hallar la integral indefinida de cada función algebraica

a. [pic] R/[pic]
b. [pic] R/[pic]
c. [pic] R/[pic]
d. [pic] R/[pic]
e....