Axioma

En lógica y matemática, un axioma o postulado es una fórmula bien formada de un lenguaje formal que se acepta sin demostración, como punto de partida para demostrar otras fórmulas.

Tradicionalmente, los axiomas se eligen de entre las demás fórmulas por ser "verdades evidentes" y porque permiten deducir a las demás fórmulas deseadas. Sin embargo, no todos los teóricos están de acuerdo con estaaproximación.

En matemática, un axioma no siempre es una verdad evidente, sino una fórmula bien formada utilizada en una deducción para llegar a una conclusión.
Contenido
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* 1 Etimología
* 2 Lógica
o 2.1 Axiomas lógicos
+ 2.1.1 Ejemplo
o 2.2 Axiomas no-lógicos
* 3 Matemáticas
* 4 Limitaciones de los sistemas axiomáticos* 5 Véase también
* 6 Bibliografía
* 7 Enlaces externos

Etimología [editar]

La palabra axioma proviene del griego αξιωμα, que significa "lo que parece justo" o aquello que es considerado evidente y sin necesidad de demostración. La palabra viene del griego αξιοειν (axioein) que significa "valorar", que a su vez procede de αξιος (axios) que significa "valuable" o "digno". Entrelos antiguos filósofos griegos, un axioma era aquello que parecía ser verdadero sin ninguna necesidad de prueba.
Lógica [editar]

La lógica del axioma es partir de una premisa calificada verdadera por sí misma (el axioma) e inferir sobre esta otras proposiciones por medio del método deductivo, obteniendo conclusiones coherentes con el axioma. Los axiomas han de cumplir sólo un requisito: deellos, y sólo de ellos, han de deducirse todas las demás proposiciones de la teoría dada.
Axiomas lógicos [editar]

Éstas son ciertas fórmulas en un lenguaje que son universalmente válidas, esto es, fórmulas que son satisfechas por cualquier estructura y por cualquier función variable, en términos coloquiales, éstos son enunciados que son verdaderos en cualquier mundo posible, bajo cualquierinterpretación posible y con cualquier asignación de valores. Usualmente uno toma como axiomas lógicos un conjunto mínimo de tautologías que es suficiente para probar todas las tautologías en el lenguaje.
Ejemplo [editar]

En el cálculo proposicional es común tomar como axiomas lógicos todas las fórmulas siguientes, donde \phi \,, \psi \,, y \chi \, pueden ser cualquier fórmula en el lenguaje:1. \phi \to (\psi \to \phi) \,
2. (\phi \to (\psi \to \chi)) \to ((\phi \to \psi) \to (\phi \to \chi)) \,
3. (\lnot \phi \to \lnot \psi) \to (\psi \to \phi)

Cada uno de estos patrones es un esquema de axiomas, una regla para generar un número infinito de axiomas. Por ejemplo, si p, q, y r son variables proposicionales, entonces p \to (q \to r) \, y (p \to \neg q) \to (r \to (p \to \negq)) \, son instancias del esquema 1 y por lo tanto son axiomas. Puede probarse que con solamente estos tres esquemas de axiomas y la regla de inferencia modus ponens, alguien puede probar todas las tautologías del cálculo proposicional, también puede probarse que ningún par de estos esquemas es suficiente para probar todas las tautologías utilizando modus ponens. Este conjunto de esquemasaxiomáticos también es utilizado en el cálculo de predicados pero son necesarios más axiomas lógicos.

Ejemplo: Sea \mathfrak{L}\, un lenguaje de primer orden. Para cada variable x\,, la fórmula x = x\, es universalmente valida.

Esto significa que, para cualquier símbolo variable x\,, la fórmula x = x\, puede considerarse un axioma. Para no caer en la vaguedad o en una serie infinita de "nocionesprimitivas", primeramente se necesita ya sea una idea de lo que queremos decir con x = x\, o un definir un uso puramente formal y sintáctico del símbolo =\,, y de hecho, la lógica matemática lo hace.

Ejemplo: Otro ejemplo interesante, es el de la instanciación universal. Para una fórmula \phi\, en un lenguaje de primer orden \mathfrak{L}\,, una variable x\, y un término t\, que es sustituible por...