axioma

Axioma
Luis Vega
Universidad Nacional de educación a distancia

1. Por axioma, en el uso común, suele entenderse una proposición cuya verdad es tan obvia que escapa a
una demostración. Este uso responde a una venerable tradición. Si nos fiamos de ella, adornan al axioma
virtudes como las siguientes: el valor y la dignidad de un principio o fundamento del conocimiento; la
evidencia internaque lo erige en verdad inmediata, necesaria y universalmente reconocida; y la condición
de proposición no demostrable a partir de alguna otra previa o más elemental. Esta última característica, si
bien relativizada, es la que ha prevalecido con el paso del tiempo y el desarrollo de la idea de demostración.
Hoy se tiende a pensar que una proposición no ostenta el título de axioma por su rangoepistemológico o su
evidencia. Ninguna proposición constituye de suyo un axioma. Se trata más bien de un papel que toca
desempeñar a una proposición dentro de un conjunto de proposiciones ordenado en forma de teoría
deductiva. Este orden -un orden parcial de implicación- dispone las proposiciones de la teoría en secuencias
demostrativas. Lo cual supone una distinción entre las tesis iniciales,primitivas, y las demás tesis derivables
como consecuencias lógicas de ese punto convenido de partida. Las tesis primitivas ejercen de axiomas y
las tesis derivadas resultan teoremas de la teoría. Axioma y teorema son entonces nociones
complementarias y recíprocas (a la manera de las de padre e hijo, amo y esclavo); ninguna de ellas tiene
mucho sentido sin la otra y ambas se explican porreferencia a la noción de demostración dentro de un
cuerpo teórico de proposiciones.
En suma, la idea que nos hagamos de un axioma depende de la idea que tengamos de la axiomatización de
una teoría. Esta proposición o aquella oficiarán de axiomas en razón de la estructura deductiva que
impongamos a la teoría. Y, en fin, esta construcción o reconstrucción metódica podrá guiarse por motivos
más omenos «nobles», como la determinación del ámbito de aplicación de la teoría, la elucidación de su
sistema lógico y conceptual, la presentación convincente de los resultados conocidos, la conveniencia de
una visión global o la simple facilidad para obtener consecuencias de la teoría, entre otros motivos varios.
2. Por regla general, axiomatizar un cuerpo teórico equivale a poner en limpio,delimitar y organizar como
sistema deductivo el conjunto de proposiciones correspondiente. La explicitación y organización de las tesis
teóricas trae consigo una elucidación y una disposición parejas de los conceptos teóricos, a 6n de que la
estructura general de los conocimientos cubiertos o contemplados por la teoría sea relativamente diáfana.
Como ya he sugerido, esta reconstrucción supone cuandomenos una demarcación entre constituyentes
primitivos y derivados. Si T es una teoría axiomatizada, todo término no definible por algún otro concepto
más elemental en T será un término primitivo de T; toda proposición no demostrable a partir de alguna otra
tesis de T será una tesis primitiva, un axioma, de T. De aquí se desprende el desiderátum de que los
axiomas de T sean solidarios peroindependientes. Cuando esto sp cumple, la supresión o negación de un
axioma de T representa un cambio de teoría.
En esta perspectiva no hay gran diferencia entre un axioma y un postulado. Uno y otro tienen la condición
de tesis primitivas. A veces se ha insistido en la presunción de la evidencia y necesidad de los axiomas por
oposición al carácter convencional y pragmático de los postulados; o seha creído ver en los axiomas
principios que relacionan ideas teóricas, mientras que los postulados pasaban por ser supuestos de
construcción o de existencia de objetos teóricos. Ambas consideraciones tendrían raíces en la antigua
matemática griega, pero escaso fundamento. No obstante, la tradición de la geometría clásica sí contribuyó
a tomar como axioma -o noción común- una proposición...