Axiomas De Congruencia

at
em
at
i ca

s

CAP´ITULO 3

tit
u

LA RELACION DE CONGRUENCIA

ns

3.1.

to

de

M

AXIOMAS DE CONGRUENCIA

Un

iv
er

si d

ad

de

An
tio

qu

ia

,I

Cuando se piensa en la forma y tama˜
no de las figuras geom´etricas, surge
de un modo natural la posibilidad de que dos o m´as figuras coincidan.
El paso siguiente de nuestro trabajo, consiste en establecer una relaci´on que
incluye estaposibilidad en el tratamiento geom´etrico.
Vamos a denominar congruencia a esta nueva relaci´on. Ser´a suficiente establecer sin definici´on dicha relaci´on para segmentos y a´ngulos, y despu´es
extenderla mediante definiciones para otras figuras u objetos geom´etricos.
En adelante podremos hacer afirmaciones como: AB es congruente con CD,
o bien, ABC es congruente con DEF .
La relaci´on de congruenciaser´a denotada por el signo primitivo ∼
= y as´ı las
anteriores afirmaciones se podr´an escribir:
AB ∼
= CD, ABC ∼
= DEF

3.2.

AXIOMAS DE CONGRUENCIA

III.1 Axioma de la construcci´on del segmento
−−→
Sea AB un segmento cualquiera no nulo y CE una semirrecta de origen
−−→
C. Entonces existe en CE un u
´nico punto D tal que AB ∼
= CD
(ver Figura 1.).

25

CAP´ITULO 3. AXIOMAS DE CONGRUENCIA

26A

B

//

//
C

D

E

at
em
at
i ca

s

Figura 1.

M

En t´erminos pr´acticos, este axioma afirma la posibilidad de construir o
trasladar un segmento haciendo uso, por ejemplo, de regla y comp´as.

ns

tit
u

to

de

Las construcciones geom´etricas se hacen con regla y comp´as, el comp´as
sirve para trasladar la magnitud del segmento y la regla (sin numeraci´on)
para trazar rectas.

qu

ia

,IConstrucci´
on b´
asica: construir con regla y comp´as un segmento en una
−−→
semirrecta dada OX, dado el segmento AB.

de

An
tio

A

C

X

Figura 2.

Un

iv
er

si d

ad

O

B

Construcci´
on. (Ver Figura 2.) Para la construcci´on, haremos los siguientes
pasos consecutivos.
−−→
Con centro en O y radio AB trazo arco, que corta a OX en C .
El segmento OC es el segmento pedido.
Justificaci´
on. Estaconstrucci´on es consecuencia inmediata del Axioma de
construcci´on de segmento.
III.2

i) Propiedad reflexiva: cada segmento es congruente consigo mismo,
es decir: AB ∼
= AB para todo segmento AB.

3.2. AXIOMAS DE CONGRUENCIA

27

ii) Propiedad de simetr´ıa: si AB ∼
= CD, entonces CD ∼
= AB.
iii) Propiedad transitiva: si AB ∼
= CD y CD ∼
= EF , entonces
AB ∼
= EF .

at
em
at
i ca

i) Si AB ∼
=A′ B ′ y BC ∼
= B ′ C ′ , entonces AC ∼
= A′ C ′
ii) Si AB ∼
= A′ B ′ y AC ∼
= A′ C ′ , entonces BC ∼
= B′C ′

s

III.3 Sean A, B, C puntos de una recta a y A′ , B ′ , C ′ puntos de a o´ de otra
recta b, tales que B est´a entre A y C y B ′ entre A′ y C ′ .

tit
u

to

de

M

(ver Figura 3.)
El anterior axioma expresa que la “suma”y la “diferencia”de segmentos
congruentes, producen segmentoscongruentes.
//

B

a
C

//
B’

ad

de

C’

An
tio

qu

ia

///

,I

A

ns

/

/
A’

///

b

Un

iv
er

si d

Figura 3.

III.4 Axioma de la construcci´on del a´ngulo
−→ −−→
Sea ∡(OA, OB) un a´ngulo cualquiera y O′ un punto de una recta l
situada en un plano .
−−→
Sea l uno cualquiera de los semiplanos en que l divide a
y O′ C ′
una de las semirrectas en que O′ divide a l. Entonces existe una semi−−→
rrectau
´nica O′ D situada en el conjunto l ∪ l tal que:

π

π

π

π

−−→ −−→
−→ −−→
∡(OA, OB) ∼
= ∡(O′ C ′ , O′ D)

CAP´ITULO 3. AXIOMAS DE CONGRUENCIA

28

O’

A

C’

l

D

B

πl

s

O

at
em
at
i ca

Figura 4.

de

M

(ver Figura 4.)

ia

,I

ns

tit
u

to

Igual que en III.1, este axioma afirma la posibilidad de construir o trasladar un a´ngulo haciendo uso por ejemplo, del comp´as y la regla,esta
construcci´on la haremos m´as adelante.

An
tio

qu

III.5 El siguiente axioma expresa que la relaci´on de congruencia entre a´ngulos verifica las propiedades reflexiva, sim´etrica y transitiva, en t´erminos
similares a los del axioma III.2, es decir:

si d

ad

de

−→ −−→
−→ −−→
i) Reflexiva: ∡(OA, OB) ∼
= ∡(OA, OB)

Un

iv
er

ii) Sim´etrica: si
entonces

−−→ −−→
−→ −−→
∡(OA, OB) ∼
= ∡(O′...