Axiomatica De Los Reales

15. Axiomatización de los números reales
Las matemáticas no estudian los objetos, sino las relaciones entre
los objetos
Henry Poincaré

Una presentación axiomática consta de unos términos no definidos, conceptos
primitivos no susceptibles de definición y un conjunto de axiomas o proposiciones
primeras 1 , relaciones entre los términos no definidos que aceptamos como ciertas;
éstosconstituyen el punto de partida de una teoría matemática en la cual se plantean
otras afirmaciones que se deducen de dichos axiomas, los teoremas; dicho de otra
forma, los teoremas se demuestran a partir de los axiomas siguiendo una manera de
razonar 2 , basada en la lógica, generalmente, la lógica bivalente o lógica clásica3 .
Suponemos que existen unos entes que llamamos números reales, dosoperaciones
básicas que llamamos suma y multiplicación y una relación de orden, suponemos
1

PASTOR, J, Rey., Análisis Matemático, vol I, Editorial Kapelusz, Buenos Aires, 1952, p. 10.
“Para Hilbert, la demostración es una cadena de afirmaciones, construida siguiendo reglas estrictas
que garantiza que el enunciado se deduce de los axiomas empleados” (citado por Oostra, A., 1999)
3
El ajedrez essimilar a la presentación axiomática, en el sentido que las piezas del juego se
caracterizan por sus movimientos más no por su forma o nombre, podríamos incluso jugar ajedrez sin
tablero y fichas materiales, sólo requerimos respetar las reglas.
2

ACTIVIDADES MATEMÁTICAS PARA EL DESARROLLO DE PROCESOS LÓGICOS

además que cumplen unos axiomas, hacemos unas definiciones y luego, deducimosreglas y teoremas que ellos cumplen.
Estos axiomas se clasifican en tres grupos: axiomas de campo (hacen referencia a las
propiedades básicas que cumplen los reales con dos operaciones definidas: la adición
y la multiplicación), axiomas de orden que establecen los criterios para comparar
números, identificando cuándo un número es mayor, menor o igual que otro, y un
axioma de completitud que nospermite introducir los números irracionales y estudiar
las propiedades de continuidad de los números reales 4 .

15.1. Axiomas de campo
En el conjunto de los números reales están definidas dos operaciones la adición (+) y
la multiplicación, ellas satisfacen los siguientes axiomas:
La pareja (R, +) es un grupo abeliano, esto significa que
C1. Si a, b son números reales, entonces a + b es unnúmero real5 .
C2. Propiedad asociativa de la adición: Si a, b, c son números reales, entonces
a + (b + c) = (a + b ) + c
C3. Existen un elemento idéntico para la adición en el conjunto de los números
reales, que notamos 0 y es tal que para cualquier número real a se cumple que:
a+0=0+a=a
C4. Para todo número real a existe un elemento que llamamos inverso aditivo, y
notamos – a, tal que:a + (– a) = (– a) + a = 0.
C5. Propiedad conmutativa de la suma: Si a, b son números reales, entonces

4

La presentación axiomática de los números reales hecha originalmente por Hilbert establece cuatro
grupos de axiomas: Axiomas de conexión, de cálculo, de ordenación y de completez.
5
Muchos textos que hacen una presentación axiomática de los números reales excluyen este primer
axioma yel análogo a éste con la multiplicación, dado que al determinar la adición y la multiplicación
como operaciones, en el sentido moderno, no los requieren; sin embargo, Hilbert en su versión
axiomática de , sí los incluye dentro del primer conjunto de axiomas; nosotros también lo
incluiremos dado que no hemos definido qué es una operación.

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UNA PRESENTACIÓN AXIOMÁTICA DE LOS NÚMEROSREALES

a+b=b+a
La operación que llamamos multiplicación y que notamos con el signo ×, es tal que la
pareja (R – {0}, ×) es un grupo abeliano, esto significa que:
C6. Si a, b son reales, entonces a × b es un número real.
C7. Propiedad asociativa de la multiplicación: Si a, b, c son números reales,
entonces
a × (b × c) = (a × b) × c
C8. Existe un elemento idéntico para la multiplicación el...