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INTEGRACIÓN POR PARTES
El método de integración por partes permite calcular la integral de un producto de dos funciones aplicando la fórmula:





Tenemos que derivar u e integrar v', por loque será conveniente que la integral de v' sea inmediata.
Las funciones logarítmicas, "arcos" y polinómicas se eligen como u.
Las funciones exponenciales y trigonométricas del tipo seno y coseno, seeligen como v'.
Supóngase que se tiene la función producto y = uv. Si se deriva con respecto de x se obtiene:


Multiplicando toda la igualdad por dx para eliminar denominadores:


Integrandoen ambos miembros de la igualdad:



De estas tres integrales, solamente de la primera se puede definir su valor:


y como al principio se dijo que y = uv, sustituyendo se obtiene queigualdad que vista en sentido contrario es lo mismo que


y, finalmente, despejando la primera integral se llega a:


La fórmula (27) es la fórmula de la integración por partes. A la integral ∫udvse le llama la integral original y a la integral ∫ vdu se le llama la integral que resulta. Para su buena utilización deben vigilarse las siguientes normas:

a) La integral original debe convertirseen udv, para lo cual debe hacerse u una parte de la integral original y el resto hacerse dv. A lo anterior se le llama hacer la elección de variables. No existe regla alguna para establecer qué debehacerse lo primero y qué lo segundo. La práctica es la que guía por el camino más acertado.
b) A partir de la elección de variables hecha en el inciso anterior, se calculan la diferencial du y lavariable v. Derivando u se obtiene du; integrando dv se obtiene v.
c) Las diferenciales deben ir en la misma igualdad.
d) La integral que resulta debe ser más sencilla, o la mucho semejante, que laintegral original; de lo contrario, debe comenzarse el proceso eligiendo nuevas variables. Algunos criterios para decidir que la integral que resulta es más sencilla o complicada que la original se irán...