Ayudantia de relatividad2

Solucionario

13

Elementos de física relativista
EJERCICIOS PROPUESTOS

13.1

Calcula el tiempo que tardaría el barco en los dos casos expuestos en el ejemplo del epígrafe, si:
D = 100 m, vc = 2 m s–1 y v = 3 m s–1.
tA =

2D
v 1−

13.2

v c2
2
v

=

2 ·100
3 1−

2

2

= 89,4 s ; t B =

2Dv
v 2 − v c2

=

2 ·100 · 3
3 2 − 22

= 120 s

32

Calcula la relación entre los tiempos tA y tB, empleadospor la luz en recorrer los brazos del
4
–1
interferómetro de Michelson, en el caso de que existiese el viento del éter con v = 3,00 · 10 m s .
tA
(3,00 ·10 4 ) 2
v2
= 1− 2 = 1−
= 0,999999995
tB
c
(3,00 ·10 8 ) 2

13.3

13.4

Vega es una estrella de la constelación de la Lira que se encuentra a 27 años luz de la Tierra.
a) Determina la distancia en kilómetros desde Vega a la Tierra.
b)

Si Vegaexperimentara una explosión de tipo supernova, indica cómo observarían este fenómeno
un observador cercano a la estrella y un observador en la Tierra.

a)
b)

1 año-luz = 3,00 ·10 8 ·365 · 24 · 3600 = 9,46 ·10 15 m  Vega se encuentra a 27 · 9,46 ·10 15 = 2,55 ·10 17 m
Un observador cercano a la estrella vería el acontecimiento inmediatamente. Un observador en la Tierra
tardaría 27 años en verlo.

Untren de 200 m de longitud parte de una estación a una velocidad constante de 5 m s–1. En el mismo
–1
instante una persona comienza a andar desde la locomotora hacia el vagón de cola 2 m s . Determina,
aplicando la transformación de Galileo, la velocidad y la posición de la persona respecto a la estación
al cabo de 8 s.

La velocidad de la persona respecto al muelle es v = 5 – 2 = 3 m s–1, que novaría con el tiempo.
Respecto a un sistema de referencia fijo en la estación, S, la persona está inicialmente en x0 = 200 m. Al cabo
de 8 s, su posición es: x = x0 + vt = 200 + 3 · 8 = 224 m.

13.5

Comprueba mediante un ejemplo que, cuando v << c, una buena aproximación del término k = 1 −
es k' = 1 −

v2
c2

v2
.
2c 2

Sea v = 0,001c:
k = 1−
k' = 1 −

13.6

v2
c

2

v2
2c 2

= 1−
= 1−

(0,001c )2
c2

(0,001c ) 2
2c 2

= 0,9999995
= 0,9999995

Una nave espacial viaja a una velocidad constante de 0,8c. Al pasar cerca de la Tierra, mide el diámetro
de esta.
Indica qué distancia medirá suponiendo que el diámetro exacto de la Tierra (medido desde la propia
v2
Tierra) es 1,274 · 107 m. Comprueba si es aceptable en este caso la aproximación k ≈ 1 − 2 .
2c

204

Solucionario

L' = L k = L 1 −v2
c2

= 1,274 ·10 7 1 −

(0,8c ) 2

= 1,274 ·10 7 · 0,6 = 7,64 ·10 6 m

c2

Utilizando la aproximación:

v2
L' = L k ' = L1 − 2
2c


2


 = 1,274 ·10 7 1 − (0,8c )


2c 2




 = 1,274 ·10 7 · 0,68 = 8,66 ·10 6 m



Por tanto, la aproximación no es tan buena.
13.7

Si una nave que viaja a una velocidad de 0,6c, respecto a la Tierra lanza un haz láser en su misma
dirección ysentido, determina la velocidad de este haz respecto a la Tierra.

La velocidad de la luz es siempre c. Haciendo el cálculo, se tiene:
vx =

v 'x + v
1+

13.8

v v 'x
c2

=

c + 0,6c
=c
0,6c c
1+
c2

Una nave espacial viaja a 0,7c respecto de la Tierra. Calcula qué velocidad debe llevar otra nave
espacial para adelantar a la primera con una velocidad relativa de 0,5c.

Si se combinan las velocidades, setiene:
v − 0,7c
v − 0,7c
v −v
 v x = 0,89c
; 0,5c = x
= x
v 'x = x
0,7cv x
0,7v x
v vx
1−
1
−
1− 2
c
c2
c
13.9

Determina la masa inercial de un electrón que se mueve a la velocidad de 0,9c sabiendo que su masa
medida por un observador en reposo respecto al electrón es de me = 9,1 · 10–31 kg.

La masa aumenta cuando la velocidad se aproxima a la de la luz.
m=

m0
2

v
1− 2
c

=

m0
(0,9c )2
1−c2

= 2,3m0 = 2,1· 10 −30 kg

13.10 Calcula la energía que se podría obtener de la conversión completa en energía de 1 g de carbón (si
eso fuese posible).

La conversión de energía se realiza con la siguiente ecuación:

E = m 0 c 2 = 10 −3 · (3,00 ·10 8 ) 2 = 9,00 ·10 13 J

13.11 ¿Por qué la luz es atraída por los campos gravitatorios al igual que lo son objetos con masa?

Según la equivalencia...