Bachiller físico

Definición formal
Esta ley lógica puede utilizarse como regla de derivación en la línea de premisas de cualquier cálculo lógico. Formalmente, puede definirse como la fórmula lógica .
En efecto, si analizamos su tabla de valores de verdad:
A  |  B  | (A → B) | ↔ | (¬B → ¬A) |
V | V | V | V | V |
V | F | F | V | F |
F | V | V | V | V |
F | F | V | V | V |
esta equivalencia queda clara,puesto que se obtiene una tautología.
La "demostración" de esta ley como regla del cálculo se realiza mediante la utilización de la regla "Introducción del negador", "Absurdo" o "Demostración indirecta" (diferentes nombres para una misma regla), de donde la regla "contrarrecíproco", también llamada de "contraposición" o "transposición" es derivada.
Aplicando las reglas del cálculo deducciónnatural:
     --1 |       |
┌---  2 |       |     Supuesto provisional 1 |
│┌-- 3 |       |     Supuesto provisional 2 |
││   4 |      B |     Modus Ponens, 1-3 |
│└-- 5 |       |     Producto 4-2; Cancelación supuesto 2 |
└--- 6 |       |     Absurdo, 3-5; Cancelación supuesto 1 |
      7 |       |     Teoría de la deducción, 2-6 |

Se expone aquí la fundamentación de una solamodalidad de las cuatro posibles, pues todas siguen los mismos pasos con las mismas reglas, partiendo naturalmente del cambio de la premisa inicial.:[1]

Una vez fundamentada la ley en todos los casos posibles podemos establecer, como fórmulas equivalentes una regla de reemplazo de la siguiente forma:
Transposición
línea n | (A → B) | | Fórmula de la cadena |
| ============ | Doble línea decierre[2] | |
| (¬A → ¬B) | | Transposición., línea n. | Conclusión |
[editar] Demostración por contrarrecíproco
Si tenemos que demostrar que una proposición p implica una proposición q (es decir, si se da p, se tiene que dar q), a veces es más sencillo demostrar que si no se da q, entonces no puede cumplirse p. Esto se conoce como demostración por contrarrecíproco o contraposición. Nótese que"p implica q" y "no q implica no p" son proposiciones equivalentes.
[editar] Ejemplo
Un ejemplo sencillo: "Demuéstrese que todos los números primos mayores que 2 son impares". Aquí, la proposición p es "n es un número primo mayor que 2" y la proposición q es "n es un número impar". Demostrar que todo número primo mayor que 2 es impar (p -> q) es lo mismo que demostrar que no existe un númeropar que sea número primo mayor que 2, o equivalentemente, que el único número primo par es 2 (no q -> no p).
Esto es más fácil de demostrar, ya que todo número par se puede escribir como n = 2 × k, donde k es mayor o igual que 1 (la idea de número primo tiene sentido sólo en los números naturales). Si k es igual a 1, tenemos n = 2, número primo. Si, por el contrario, k es mayor que 1,entonces n es mayor que 2, pero no es primo ya que tiene algún factor que no es ni 1 ni él mismo. Así que 2 es el único número primo par, por lo que se ha demostrado que todos los números primos mayores que 2 son impares.
[editar] Referencias
1. ↑ o.p. cit. pág. 107
2. ↑ La doble línea significa la equivalencia y por tanto la posibilidad de sustitución directa de una fórmula por la otra yviceversa en cualquier línea de una cadena deductiva
[editar] Bibliografía
* GARRIDO, M. (1974). LÓGICA SIMBÓLICA. MADRID: TECNOS. ISBN 84-309-0537-5.
* Reducción al absurdo (del latín Reductio ad absurdum) es un método de demostración (formalizado y a menudo usado por Aristóteles como un argumento lógico) partiendo de una hipótesis que queremos demostrar que es verdadera, y suponemos comoválida su opuesta, a partir de ella y mediante una cadena de deducciones lógicas válidas obtenemos un resultado absurdo, por lo que concluimos que la hipótesis de partida (la negación de la original) ha de ser falsa, por lo que la original es verdadera. Este método es también conocido como prueba por contradicción o prueba ad absurdum. Parte de la base es el cumplimiento de la ley de exclusión de...