Banda de Möbius

Banda de Möbius
La banda o cinta de Möbius (/ˈmøbiʊs/) o Moebius (/moˈebius/) es una superficie con una sola cara y un solo borde. Tiene la propiedad matemática de ser un objeto no orientable. También es una superficie reglada. Fue descubierta en forma independiente por los matemáticos alemanes August Ferdinand Möbius y Johann Benedict Listing en 1858.



Banda de Moebius conformada con unacinta de papel, cuyos extremos se han unido girándolos.
Índice [ocultar]
1 Construcción de una cinta de Möbius
2 Propiedades
3 Geometría
4 Topología
5 Objetos relacionados
6 La banda de Möbius en el arte
6.1 Símbolos gráficos, logotipos y emblemas
7 Véase también
8 Referencias
8.1 Referencias no matemáticas
9 Enlaces externos
Construcción de una cinta de Möbius[editar]
Paraconstruir una cinta de Möbius, se toma una tira de papel y se pegan los extremos dando media vuelta a uno de ellos.

Propiedades[editar]
La banda de Möbius posee las siguientes propiedades:



Banda de Möbius.


Plot paramétrico de una banda de Möbius.
Es una superficie que sólo posee una cara:
Si se colorea la superficie de una cinta de Möbius, comenzando por la «aparentemente» caraexterior, al final queda coloreada toda la cinta, por tanto, sólo tiene una cara y no tiene sentido hablar de cara interior y cara exterior.

Tiene sólo un borde:
Se puede comprobar siguiendo el borde con un dedo, apreciando que se alcanza el punto de partida tras haber recorrido la totalidad del borde.

Es una superficie no orientable:
Si se parte con una pareja de ejes perpendiculares orientados,al desplazarse paralelamente a lo largo de la cinta, se llegará al punto de partida con la orientación invertida. Una persona que se deslizara «tumbada» sobre una banda de Möbius, mirando hacia la derecha, al recorrer una vuelta completa aparecerá mirando hacia la izquierda.

Otras propiedades:
Si se corta una cinta de Möbius a lo largo, se obtienen dos resultados diferentes, según dónde seefectúe el corte.

Si el corte se realiza en la mitad exacta del ancho de la cinta, se obtiene una banda más larga pero con dos vueltas; y si a esta banda se la vuelve a cortar a lo largo por el centro de su ancho, se obtienen otras dos bandas entrelazadas. A medida que se van cortando a lo largo de cada una, se siguen obteniendo más bandas entrelazadas.1

Si el corte no se realiza en la mitadexacta del ancho de la cinta, sino a cualquier otra distancia fija del borde, se obtienen dos cintas entrelazadas diferentes: una de idéntica longitud a la original y otra con el doble de longitud.

Esta forma geométrica se utiliza frecuentemente como ejemplo en topología.

Geometría[editar]
Una forma de representar la banda de Möbius (cerrada y con frontera) como un subconjunto de\scriptstyle\mathbb{R}^3 es mediante la parametrización:

\begin{cases}
x(u,v)=\left[1+\cfrac{v}{2}\cos\cfrac{u}{2}\right]\cos(u)\\
y(u,v)=\left[1+\cfrac{v}{2}\cos\cfrac{u}{2}\right]\sin(u)\\
z(u,v)=\cfrac{v}{2}\sin\cfrac{u}{2} \end{cases}

donde \scriptstyle 0\leq u < 2\pi y \scriptstyle -0.5\leq v\leq 0.5.

Representa una banda de Möbius de ancho unitario, cuya circunferencia central tiene radiounitario y se encuentra en el plano coordenado x-y centrada en \scriptstyle(0,0,0)\,. El parámetro u recorre la banda longitudinalmente, mientras v se desplaza de un punto a otro del borde, cruzando transversalmente la circunferencia central.

Con la parametrización anterior podemos obtener su curvatura gaussiana la cual es:

\scriptstyle -\frac{64}{(16v^4 \cos(u/2)^4+128v^3 \cos(u/2)^3+384v^2\cos(u/2)^2+8v^4 \cos(u/2)^2+512v \cos(u/2)+32v^3 \cos(u/2)+256+32v^2+v^4)}

En coordenadas cilíndricas \scriptstyle(r,\theta,z), se puede representar una versión sin frontera (abierta) de la banda de Möbius mediante la ecuación:

\log(r)\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)=z\cos\left(\frac{\theta}{2}\right).

Topología[editar]


Para transformar un rectángulo en una banda de Möbius, se...