Base Canonica

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Base canónica

Cada vector a en tres dimensiones es una combinación lineal de los vectores que forman la base canónica i, j y k.

En álgebra lineal, sea un espacio vectorial sobre un cuerpo de escalares  o , la base canónica o base usual es una colección de vectores linealmente independientes cuyo número coincide con la dimensión del propio espacio vectorial.
De entre las(infinitas) bases existentes, la base canónica está normalizada, es decir, los módulos de los vectores son unitarios, o lo que es lo mismo, valen una unidad métrica, según el sistema de referencias utilizado.
Además, en geometría euclidiana, los vectores de la base se fijan a un punto de aplicación común, que es el punto de origen del sistema de referencia o punto cero.
Todas estas características hacen que la basecanónica sea única para cada espacio vectorial.
Utilizando el operador interno aditivo (adición de vectores) y operador externo producto (producto de un escalar por un vector) característicos de todo espacio vectorial, generan combinaciones lineales de la siguiente forma:
Sean λ , μ , ν (se leen respectivamente: lambda, mu, nu) - una forma de representar a tres números cualesquiera (o escalares)reales o complejos.
Sea la base canónica para el espacio euclídeo  para el espacio , siendo sus coordenadas referidas en ese espacio:
Un vector cualquiera  puede ser representado a través de una combinación lineal:

* Ejemplo

Una recta (la llamamos) está formada por un entramado infinito de puntos, si asociamos un vector director  a dicha recta. Cualquier vector contenido en  tendrá laforma:

Siendo el parámetro λ un número real que multiplicado por el vector canónico  genera cualquier vector contenido en dicha recta.
El número real λ a través de la operación producto de un escalar por un vector genera un conjunto de infinitos vectores, todos ellos, pertenecientes al subespacio vectorial real , el vector  al tener de módulo la unidad, realiza conversiones de escalares avectores de la siguiente forma:
* Módulo de 
* Dirección: Otorgado por el escalar λ y en función del signo que tenga, y el vector , al ser director de la recta XX', tiene la misma dirección que dicha recta, en caso de vector libre, paralelo a dicha recta.
 y su dirección es hacia la derecha de la recta: X
 y su dirección es hacia la izquierda de la recta: X'
Por otro lado, es inevitable laexistencia del vector , cuando λ = 0, el vector nulo es un vector especial ya que carece de módulo, en consecuencia, su dirección podría ser cualquiera, es una anomalía algebraica necesaria para fundamentar la estructura, ya que es consecuencia inmediata de la existencia del número cero proveniente del cuerpo de escalares.
Esta discusión es válida para cualquiera de los otros ejes coordenados  y -------------------------------------------------
Construcción del plano afín y espacio euclídeo
Construcción mediante suma directa de subespacios vectoriales
Considerando cada una de las rectas como variedades de un mismo tipo de subespacio vectorial, las denotaremos como,  y  las respectivas de los ejes de referencia: X , Y, Z.
La suma directa de estos subespacios vectoriales de dimensiónunitaria es factible debido a que se cumple la condición que el único elemento que tienen en común es el punto {0}, es decir que:

Plano afín
La suma directa de los subespacios de las rectas afines X e Y generan el subespacio vectorial afín para el plano XY, considerado espacio vectorial del plano afín  o sencillamente.
Siendo la dimensión de este espacio 2 (largo × ancho):

Solamente serequieren dos vectores (a lo sumo) para obtener una base de este e.v.
La base canónica estará formada por los vectores 
Para todo  y  se verifica que, la suma de ambos vectores es un nuevo vector de dimensión superior y perteneciente a .
En coordenadas de la base canónica:

Espacio euclídeo
Si además, introducimos como sumando al subespacio vectorial asociado al eje z, obtenemos el espacio...
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