Base de datos en visual c

Complemento 2 del Capítulo 1

PROBLEMAS ADICIONALES

1.1.3 Origen de las ecuaciones diferenciales ordinarias 1.2 SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA 1.2.1 Método de separación de variables 1.2.2 Método de las homogéneas (reducibles a variables separables) 1.2.3 Método de las exactas 1.2.4 Ecuación lineal de primer orden (factor integrante) 1.2.6 Modelos matemáticos 1.2.6.1Trayectorias ortogonales 1.2.6.2 Las matemáticas en acción: una forma de introducir al estudiante en el tema de las ecuaciones diferenciales 1.1.3 Origen de las ecuaciones diferenciales ordinarias El origen de las ecuaciones diferenciales ordinarias está relacionado con el planteamiento y solución de problemas que surgen en las diversas áreas de la matemática, la ciencia y la ingeniería, y en particularcon el análisis de familias de curvas y con la formulación en términos matemáticos de problemas físicos que se presentan en la ciencia y la ingeniería. A continuación se presentan algunos ejemplos que ilustran esto. Ejemplo 1 Para obtener la ecuación diferencial de la familia biparamétrica y = c 1e x + c 2 21

22

Complemento 2 del Capítulo 1

a partir de esta ecuación se tiene que dy = c 1ex dx y de aquí resulta que dy d 2 y = dx dx 2 Ejemplo 2 Para determinar la ecuación diferencial de la curva y y que c = 3 y también que x dy = 3cx 2 dx dy 3 y ⇒ = dx x Ejemplo 3 Para establecer un modelo matemático del movimiento de un cuerpo dentro de un campo de fuerzas (Fig. 1.1) con frecuencia se comienza con la segunda ley de Newton, la cual afirma que la fuerza total que actúa sobre uncuerpo es proporcional a la aceleración a del cuerpo, esto es, F ma en donde m es la masa del cuerpo. La aceleración se puede representar como la primera derivada de la velocidad con respecto al tiempo o como la segunda derivada de la posición con respecto al tiempo dv d 2 s = dt dt 2 ⇒ ⇒ cx3, a partir de esta ecuación se tiene ⇒ d 2 y dy − =0 dx 2 dx ⇒ y −y =0 ⇒ d 2y = c 1e x dx 2

dy ⎛ y ⎞ = 3⎜ 3⎟ x 2 ⎝x ⎠ dx dy − 3y = 0 x dx

( )

Fig. 1.1. a=

Entonces para el caso de un cuerpo en un campo gravitacional en el vacío se tiene que la ecuación diferencial que rige su movimiento es d 2s = −g dt 2 en donde g es la aceleración debida a la gravedad y el signo menos está asociado con la dirección de la fuerza.

Problemas adicionales

23

Ejemplo 4 Se supone que desde la parte superiorde un edificio se arroja un objeto como se muestra en la Fig. 1.2. Aquí V0 es la velocidad inicial con la que se lanza el objeto y S0 es la posición inicial desde donde se lanza el objeto. La ecuación diferencial y las condiciones iniciales de este problema son d 2s = −g ; 0 < t < t 1 dt 2 S(0) = S 0 Ejemplo 5 S ′(0 ) = V 0
Fig. 1.2.

Cuando se fija una masa m a un resorte, éste se estira sunidades y cuelga en reposo en la posición de equilibrio como se muestra en la Fig. 1.3. Al poner en movimiento el sistema resorte-masa, sea x(t) la distancia dirigida desde el punto de equilibrio hasta la x(t) 0 Resorte s masa. sin deformar x 0 m x(t) 0 Para analizar la dinámica de este sistema se aplican Posición las siguientes leyes. de equilibrio m 1. La segunda ley de Newton del movimientoafirma que Fig. 1.3. la fuerza aplicada a un cuerpo es igual a la masa del cuerpo por su aceleración, F = ma. 2. La primera ley de Hooke afirma que la fuerza de restitución de un resorte es proporcional a su alargamiento, F kx, k > 0. Aplicando estas dos leyes se tiene que la ecuación diferencial del sistema es m Ejemplo 6 L Para un circuito simple conectado en serie (Fig. 1.4), la segunda ley deKirchhoff afirma que la suma de las caídas de voltaje, a través de cada uno de los componentes del circuito, es igual a la tensión aplicada, E(t). En un circuito, para cualquier tiempo t, la corriente eléctrica se representa como i(t) y la carga como q(t). Así, la ecuación diferencial que modela el comportamiento del circuito es E (t ) = L d 2q dq 1 + q 2 +R dt C dt d 2x = − kx dt 2 ⇒ d 2x + ω 2 x...