bases ortonormales


Álgebra Lineal

Ejercicio simple (Respuesta)


10.
Los datos a considerar para este procedimiento son:
 
Si , entonces  , .
 
A continuación, obtenemos primeramente :
 
a)       Elvector auxiliar :
 
Sea ,
 
.
 
b)       Vector unitario :

 
c)       Vector auxiliar :
 
Sea ,
 
.
 

 

 

 
d)       Vector unitario :
 

 

 

 
 
e)       Por lo quela Base ortonormal es:
 


Ejemplo 5.
 
Considere los vectores    = (1, 0, 1),   = (0, 1, 1)  y   = (1, 0, 0)  base de .  Transformar esta base en una base ortonormal  por el proceso de Gram –Schmidt.
 
 
Primer paso.
Obtener un primer vector unitario :
 

 
 
 
Segundo paso.
Obtener un vector     ortogonal a  :
 

 
 
Tercer paso.
Normalizar :

 
Cuarto paso.
Obtener unvector     ortogonal a    y  a  :
 

 
 
Quinto paso.
Normalizar  :

 
 
Finalmente, el conjunto de vectores   , ,  y     es una base ortonormal de .
 

 

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1.
1. Determinar si el siguiente conjuntoes ortogonal:
 
{(-1,4,-3),(3,-4,-7),(5,2,1)}

Para que un espacio vectorial sea un conjunto ortogonal, debe satisfacerse la expresión:
 
( vi,vj ) = 0 , para i ≠ j
 
Por lo que, al realizarel producto interno, se obtiene lo siguiente:
 



 
Debido a que el producto interno del primero y segundo vector es el espacio vectorial es diferente de cero (2), el conjuntoNO es ortogonal. 

. Determinar si el siguiente conjunto es ortogonal:
 
{(0,0,0),(4,-2,6),(2,-5,-3)}

Al realizar los productos internos, se obtiene:
 



 
Debido a que todos los productos internoscumplen con la condición
 
( vi,vj ) = 0 , para i ≠ j
 
el conjunto SI es ortogonal. 

4. De acuerdo con la siguiente base ortogonal B, dada en R2 y R3, expresar las coordenadas de los vectores...