Bases Ortonormales

ÁLGEBRA LINEAL (Ingenierías) -- ÁLGEBRA II (LM - PM) -- ÁLGEBRA II (LSI-PI)
TEOREMA

Todo espacio vectorial real V ≠ {0V } con producto interior y de dimensión finita n (con
n ≥ 2 ), admite unabase ortonormal.
Demostración
Sabemos que todo espacio vectorial V ≠ {0V } admite al menos una base, por lo tanto
podemos tomar una base cualquiera de V.
= { v1 , v2 ,

Sea

vectores w1, w2,...

...

, vn} una base de V. A partir de esta base construiremos

, wn empleando el conocido Proceso de Ortogonalización de

Gram-Schmidt, del siguiente modo:

w =v
1
1
v

w 2 = v2 -w =v 3
3

2

•w

w1

1w
1
2

v 3 • w1
v • w2
w-3
w
2
1
2
2
w1
w2

.
.
.

w n = vn -

vn • w
w1

2

1

w1 -

vn • w
w2

2
2

w2

- ... -

vn • wn −1
2
w n −1

w n −1

Es decir

∀ i = 1, 2, ... , n ;

Sea

w =v i
i

vi • w j
2
j =1
wj
i -1

el conjunto formado por esos vectores, esto es

= { w 1, w 2, . . . , w n} .wj

(α)

es un conjunto ortogonal de vectores no nulos.

Probaremos que el conjunto

En efecto, todos los vectores de

son no nulos, es decir:

∀ i = 1, 2, . . . , n ; wi ≠ 0v.

(β)Esto es así, ya que en caso contrario si existe i ∈ { 1, 2, . . . , n } tal que wi = 0v , entonces
reemplazando en (α) y luego despejando vi se tiene

i - 1 vi • w j
v=
w
i
j
2
j =1 w
j
esdecir, vi es combinación lineal de los anteriores vectores v1, v2, . . . , vi-1 de la base
dada

, y esto es una contradicción , ya que ningún vector de

puede ser combinación

es linealmenteindependiente. Luego la proposición (β)

lineal de los restantes, puesto que
resulta es verdadera.

Ahora, probaremos que cada vector de

es ortogonal a los anteriores vectores. Es

decir,probaremos por inducción que es verdadera la siguiente proposición:

∀ i ∈ N ∧ 2 ≤ i ≤ n ; wi es ortogonal a wh

con h = 1, 2, … , i -1

(δ)

i) Si i = 2, entonces calculamos

w2 • w1 = v

2...