Beethoven

Funciones trigonométricas en función de las otras cinco. |
sen | | | | | | |
cos | | | | | | |
tan | | | | | | |
cot | | | | | | |
sec | | | | | | |
csc | | | | | | |
De las definiciones de las funciones trigonométricas:

Son más sencillas de probar en la circunferencia trigonométrica o goniométrica (que tiene radio igual a 1):

A veces esimportante saber que cualquier combinación lineal de una serie de ondas senoidales que tienen el mismo pero están desfasadas, es también una onda senoidal del mismo período pero con un desplazamiento de fase diferente. Dicho de otro modo:

Es llamada identidad trigonométrica fundamental, y efectuando sencillas operaciones permite encontrar unas 24 identidades más, muy útiles para problemasintroductorios del tipo conocido el valor de la función seno, obtenga el valor de las restantes (sin tabla ni calculadora).
Por ejemplo, si se divide ambos miembros por cos², se tiene:

Calculando la recíproca de la expresión anterior:

Entonces puede expresarse la función seno según alguna otra conocida:

y análogamente con las restantes funciones .
[editar] Teoremas de la suma y diferencia deángulos
Pueden demostrarse según la Fórmula de Euler o mediante la proyección de ángulos consecutivos. La identidad de la tangente surge del cociente entre coseno y seno, y las restantes de la recíproca correspondiente.

De lo que se sigue para determinados ángulos suplementarios:

Para ángulos complementarios:

Para ángulos opuestos:

[editar] Identidades del ángulo múltiple
Si Tn es eln-simo Polinomio de Chebyshev entonces

Fórmula de De Moivre:

[editar] Identidades del ángulo doble, triple y medio
Pueden obtenerse remplazándolo y por x (o sea ) en las identidades anteriores, y usando el teorema de Pitágoras para los dos últimos (a veces es útil expresar la identidad en términos de seno, o de coseno solamente), o bien aplicando la Fórmula de De Moivre cuando n = 2.
Fórmuladel ángulo doble |
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Fórmula del ángulo triple |
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Fórmula del ángulo medio |
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[editar] Producto infinito de Euler

[editar] Identidades para la reducción de exponentes
Resuelve las identidades tercera y cuarta del ángulo doble para cos²(x) y sin²(x).
Seno | | |
Coseno | | | |
Otros | | | |
[editar] Paso de producto a suma
Puedeprobarse usando el teorema de la suma para expandir los segundos miembros.

[editar] Deducción de la identidad

Sabemos por el teorema de la suma y la resta que:

Si separamos la suma de la resta quedan entonces los dos posibles casos:
1):
2):
Si tomamos la ecuación 1) y despejamos cos(x)cos(y) nos queda que:
3):
Y si sumamos el miembro de la derecha de la ecuación 2) al miembro izquierdode la ecuación 3), y para mantener la igualdad se suma el lado izquierdo de la ecuación 2) en el lado derecho de la ecuación 3). (Recuerda que si se suma un elemento a ambos lados de la ecuación se mantiene la misma), quedaría:

Simplificando el elemento sin(x)sin(y) y sumando cos(x)cos(y) quedaría:
2cos(x)cos(y) = cos(x + y) + cos(x − y)
Y por último multiplicando ambos lados de la ecuaciónpor ½ queda:

Nota 1: este procedimiento también se puede aplicar para demostrar el origen de las otras dos ecuaciones simplemente cambiando los valores.
Nota 2: Usando 3) y el resultado anterior se obtiene también:

Notar el cambio de signo.
[editar] Paso de suma a producto
Reemplazando x por (a + b) / 2 e "y por (a – b) / 2 en las identidades de producto a suma, se tiene:

[editar] Pasode diferencia de cuadrados a producto

[editar] Deducción
1) recordando:que cateto opuesto sobre cateto adyacente

multiplicando

Sabemos que:

el la primera ecuación transponemos y en la segunda
De tal manera que obtendremos:

aplicando esto en la ecuación inicial

multiplicando

De una manera análoga se halla el segundo teorema.
[editar] Eliminar seno y coseno
A veces es...