bienbenida

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Cap´
ıtulo 8

An´lisis Dimensional y Semejanza
a
Dado que el n´mero de problemas que se puede resolver en forma puramente anal´
u
ıtica es peque˜o,
n
la gran mayor´ requiere alg´n grado de resultados emp´
ıa
u
ıricos o experimentales. Lo anterior es
particularmente cierto en el ´mbito de la mec´nica de fluidos, cuyo desarrollo ha dependido
a
a
fuertemente de resultadosexperimentales. Por otro lado los resultados obtenidos en forma experimental deben ser lo m´s generales posibles y extrapolables a situaciones fuera de las condia
ciones “ideales” en las que se realizaron. El an´lisis dimensional ofrece un m´todo para reducir
a
e
problemas f´
ısicos complejos a su forma funcional mas simple antes de obtener una respuesta
cuantitativa acerca del problema. Permite,por lo tanto, tener una visi´n general del problema
o
y las variables (adimensionales) relevantes involucradas.
En el coraz´n del an´lisis dimensional se encuentra el concepto de similitud o semejanza. En
o
a
t´rminos f´
e
ısicos, la similitud se refiere a alguna equivalencia entre dos fen´menos diferentes.
o
Por ejemplo, bajo algunas condiciones particulares hay una relaci´n directaentre las fuerzas
o
que act´an sobre un avi´n de tama˜o real y aqu´llas que act´an sobre un modelo a escala que
u
o
n
e
u
se prueba en el t´nel de viento de un laboratorio. La pregunta es naturalmente, cuales son
u
esas condiciones que hacen equivalente el estudio y extrapolables los resultados de un modelo a
escala. En t´rminos matem´ticos, la similitud se refiere a una transformaci´n devariables que
e
a
o
llevan a una reducci´n en el n´mero de variables independientes que especifican un problema.
o
u
Aqu´ la pregunta natural es, qu´ tipo de transformaci´n es necesaria hacer y en cuanto se pueden
ı
e
o
reducir el n´mero de variables independientes. El an´lisis dimensional es una herramienta que
u
a
responde ´stas preguntas. Su utilidad principal radica en la capacidadde representar en forma
e
m´s reducida la forma funcional de relaciones f´
a
ısicas involucradas en un fen´meno dado. Un
o
problema que en un principio puede parecer complejo, puede a veces resolverse con un esfuerzo
peque˜o a trav´s del an´lisis dimensional.
n
e
a
Como ejemplo de lo anterior consideraremos el problema de determinar la ca´ de presi´n por
ıda
o
unidad de largo ∆pl ,que se produce a lo largo de la tuber´ lisa por efecto de la fricci´n. Dentro
ıa
o
de las variables geom´tricas y f´
e
ısicas que se esperar´ que influyeran en la ca´ de presi´n se
ıa
ıda
o
encuentra el di´metro de la tuber´ la velocidad del flujo y la viscosidad y densidad del fluido.
a
ıa,
Se puede establecer por lo tanto una relaci´n funcional f de la siguiente forma:
o
∆pl = f (D, ρ,µ, V )
donde f es la funci´n a determinar experimentalmente. El desarrollo de experimentos siso
tem´ticos para encontrar f implicar´ necesariamente el medir ∆pl variando solo una de las
a
ıa
variables a la vez, la velocidad por ejemplo, y manteniendo las dem´s constantes. Este proceder
a
deber´ repetirse an´logamente para cada una de las variables obteniendo una gran cantidad
ıa
a
deinformaci´n la cual se puede representar gr´ficamente como se muestra en el gr´fico 8.1.
o
a
a

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Extraer de esta informaci´n la deseada funci´n f que relacione las variables independientes con
o
o
la dependiente es, incluso para este caso sencillo, pr´cticamente imposible. Adem´s de esto las
a
a
dificultades experimentales, como por ejemplo, variar la densidad manteniendo la viscosidadconstante, no son despreciables e incluso pueden llegar a ser imposibles de solucionar.
Dpl

Dpl

D,r,m= constante

V,r,m= constante

V

D

(a)

Dpl

(b)

Dpl

V,D,m= constante

V,D,r= constante
r
(c)

m
(d)

Figura 8.1: Relaci´n entre la ca´ de presi´n con las distintas variables independientes.
o
ıda
o

Salta a la vista que esta forma de proceder, tanto...