Binomio de newton

Binomio de newton
La fórmula que nos permite hallar las potencias de un binomio se conoce como binomio de Newton.

Podemos observar que:
El número de términos es n+1.
Los coeficientes sonnúmeros combinatorios que corresponden a la fila enésima del triángulo de Tartaglia.


Para ello veamos como se van desarrollando las potencias de (a+b)






En el desarrollo del binomio losexponentes de a van disminuyendo, de uno en uno, de n a cero; y los exponentes de b van aumentando, de uno en uno, de cero a n, de tal manera que la suma de los exponentes de a y de b en cada términoes igual a n.
En el caso que uno de los términos del binomio sea negativo, se alternan los signos positivos y negativos.

Ejemplos:
1.


2.



TRIANGULO DE TARTAGLIA1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 11 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 936 84 126 126 84 36 9 1
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
...
Como se puede observar, en la cúspide del triángulo hay un 1, en la segunda fila hay dos 1, ylas demás filas empiezan con 1 y terminan con 1, y cada número intermedio se obtiene sumando los dos que se encuentran justo encima.
El Triángulo de Tartaglia, llamado también de Pascal, es infinito.El Triángulo de Tartaglia está relacionado con el desarrollo de las potencias de un binomio y con los números combinatorios.
Si queremos desarrollar las potencias de una suma, tenemos:
(a +b)2 = a2 + 2ab + b2
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
etc...
Como se puede comprobar si nos fijamos en los coeficientes que acompañan a las potencias...