Binomio Newton
Páginas: 9 (2028 palabras)
Publicado: 2 de diciembre de 2012
El Binomio de Newton
Definición
Un binomio es un polinomio formado por dos términos. Newton desarrolló la fórmula para calcular las potencias de un binomio utilizando números combinatorios.
La fórmula del Binomio de Newton
Sirve para calcular las potencias de un binomio utilizando números combinatorios.
Mediante esta fórmula podemos expresar la potencia (a + b)n como una suma devarios términos, cuyos coeficientes se pueden hallar utilizando el triángulo de Tartaglia.
Potencias Desarrollos Coeficientes
(a + b)1 a + b 1
(a + b)2 a2 + 2ab + b2 1 2 1
(a + b)3 a3 + 3a2b + 3ab3 + b2 1 3 3 1
(a + b)4 a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 1 4 6 4 1
Se observa que:
• Los coeficientes de los desarrollos de (a + b)2, (a + b)3 y (a + b)4 son, respectivamente, los númerosde las filas segunda, tercera y cuarta del triángulo de Tartaglia.
• Los desarrollos de (a + b)2, (a + b)3 y (a + b)4 son polinomios completos y ordenados en a y b, decrecientes respecto de a y crecientes respecto de b.
• El grado de cada uno de los monomios (suma de los exponentes de a y b) es, en cada caso, igual al exponente de la potencia.
Estas observaciones son válidas paracualquier exponente.
ab4 + b5
Generalizando, se obtiene la fórmula del binomio de Newton:
( a + b ) n = ( n 0 ) a n + ( n 1 ) a n - 1 b + ( n 2 ) a n - 2 b 2 + ... + ( n n - 1 ) a b n - 1 + ( n n ) b n
Para obtener (a - b)n se desarrolla (a + (-b) n.
Así, resulta un desarrollo en el que los términos son alternativamente positivos y negativos.
( a - b ) n = ( a + ( - b ) ) n = = ( n 0 ) an ( - b ) 0 + ( n 1 ) a n - 1 ( - b ) 1 + ( n 2 ) a n - 2 ( - b ) 2 + ... = = ( n 0 ) a n - ( n 1 ) a n - 1 b + ( n 2 ) a n - 2 b 2 - ( n 3 ) a n - 3 b 3 + ... ± ( n n ) b n.
Teorema del Binomio
El coeficiente de xn − kyk en el desarrollo de (x + y)n es
En matemática, el teorema del binomio es un resultado que proporciona el desarrollo de la potencia de una suma. Este teorema establece:Donde recibe el nombre de coeficiente binomial y representa el número de formas de escoger k elementos a partir de un conjunto con n elementos. Usualmente el teorema de los binomios se expresa en la siguiente variante:
Usando la fórmula para calcular el valor de (que también es representado ocasionalmente como C(n,k) o ) se obtiene una tercera representación:
Como ejemplo, para n=2, n=3,n=4:
(2)
Para obtener la expansión de las potencias de una resta, basta con tomar -y en lugar de y en el caso anterior. La expresión (2) queda de la siguiente forma:
Teorema generalizado del binomio (Newton)
Isaac Newton generalizó la fórmula para tomar otros exponentes, considerando una serie infinita:
(3)
Donde r puede ser cualquier número complejo (en particular, r puede sercualquier número
real, no necesariamente positivo ni entero), y los coeficientes están dados por:
(el k = 0 es un producto vacío y por lo tanto, igual a 1; en el caso de k = 1 es igual a r, ya que los otros factores (r − 1), etc., no aparecen en ese caso).
Una forma útil pero no obvia para la potencia recíproca:
La suma en (3) converge y la igualdad es verdadera siempre que los númerosreales o complejos x e y sean suficientemente cercanos, en el sentido de que el valor absoluto | x/y | sea menor a uno.
Calcular Binomio
Para calcular un Binomio de Newton estilo podemos hacer de forma sencilla:
Leyes del Movimiento de Newton
Las leyes del movimiento tienen un interés especial aquí; tanto el movimiento orbital como la ley del movimiento de los cohetes se basan enellas. Newton planteó que todos los movimientos se atienen a tres leyes principales formuladas en términos matemáticos y que implican conceptos que es necesario primero definir con rigor. Un concepto es la fuerza, causa del movimiento; otro es la masa, la medición de la cantidad de materia puesta en movimiento; los dos son denominados habitualmente por las letras F y m. "Las tres leyes del movimiento...
Definición
Un binomio es un polinomio formado por dos términos. Newton desarrolló la fórmula para calcular las potencias de un binomio utilizando números combinatorios.
La fórmula del Binomio de Newton
Sirve para calcular las potencias de un binomio utilizando números combinatorios.
Mediante esta fórmula podemos expresar la potencia (a + b)n como una suma devarios términos, cuyos coeficientes se pueden hallar utilizando el triángulo de Tartaglia.
Potencias Desarrollos Coeficientes
(a + b)1 a + b 1
(a + b)2 a2 + 2ab + b2 1 2 1
(a + b)3 a3 + 3a2b + 3ab3 + b2 1 3 3 1
(a + b)4 a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 1 4 6 4 1
Se observa que:
• Los coeficientes de los desarrollos de (a + b)2, (a + b)3 y (a + b)4 son, respectivamente, los númerosde las filas segunda, tercera y cuarta del triángulo de Tartaglia.
• Los desarrollos de (a + b)2, (a + b)3 y (a + b)4 son polinomios completos y ordenados en a y b, decrecientes respecto de a y crecientes respecto de b.
• El grado de cada uno de los monomios (suma de los exponentes de a y b) es, en cada caso, igual al exponente de la potencia.
Estas observaciones son válidas paracualquier exponente.
ab4 + b5
Generalizando, se obtiene la fórmula del binomio de Newton:
( a + b ) n = ( n 0 ) a n + ( n 1 ) a n - 1 b + ( n 2 ) a n - 2 b 2 + ... + ( n n - 1 ) a b n - 1 + ( n n ) b n
Para obtener (a - b)n se desarrolla (a + (-b) n.
Así, resulta un desarrollo en el que los términos son alternativamente positivos y negativos.
( a - b ) n = ( a + ( - b ) ) n = = ( n 0 ) an ( - b ) 0 + ( n 1 ) a n - 1 ( - b ) 1 + ( n 2 ) a n - 2 ( - b ) 2 + ... = = ( n 0 ) a n - ( n 1 ) a n - 1 b + ( n 2 ) a n - 2 b 2 - ( n 3 ) a n - 3 b 3 + ... ± ( n n ) b n.
Teorema del Binomio
El coeficiente de xn − kyk en el desarrollo de (x + y)n es
En matemática, el teorema del binomio es un resultado que proporciona el desarrollo de la potencia de una suma. Este teorema establece:Donde recibe el nombre de coeficiente binomial y representa el número de formas de escoger k elementos a partir de un conjunto con n elementos. Usualmente el teorema de los binomios se expresa en la siguiente variante:
Usando la fórmula para calcular el valor de (que también es representado ocasionalmente como C(n,k) o ) se obtiene una tercera representación:
Como ejemplo, para n=2, n=3,n=4:
(2)
Para obtener la expansión de las potencias de una resta, basta con tomar -y en lugar de y en el caso anterior. La expresión (2) queda de la siguiente forma:
Teorema generalizado del binomio (Newton)
Isaac Newton generalizó la fórmula para tomar otros exponentes, considerando una serie infinita:
(3)
Donde r puede ser cualquier número complejo (en particular, r puede sercualquier número
real, no necesariamente positivo ni entero), y los coeficientes están dados por:
(el k = 0 es un producto vacío y por lo tanto, igual a 1; en el caso de k = 1 es igual a r, ya que los otros factores (r − 1), etc., no aparecen en ese caso).
Una forma útil pero no obvia para la potencia recíproca:
La suma en (3) converge y la igualdad es verdadera siempre que los númerosreales o complejos x e y sean suficientemente cercanos, en el sentido de que el valor absoluto | x/y | sea menor a uno.
Calcular Binomio
Para calcular un Binomio de Newton estilo podemos hacer de forma sencilla:
Leyes del Movimiento de Newton
Las leyes del movimiento tienen un interés especial aquí; tanto el movimiento orbital como la ley del movimiento de los cohetes se basan enellas. Newton planteó que todos los movimientos se atienen a tres leyes principales formuladas en términos matemáticos y que implican conceptos que es necesario primero definir con rigor. Un concepto es la fuerza, causa del movimiento; otro es la masa, la medición de la cantidad de materia puesta en movimiento; los dos son denominados habitualmente por las letras F y m. "Las tres leyes del movimiento...
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