biologia

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Ayudant´ No 16: CALCULO I
ıa
Carrera de Bioinform´tica, Universidad de Talca
a
Profesor: Mokhtar Hassaine / Ayudante: Diego Arcis
03 de Mayo, 2011

Ejercicio 1

Se define la siguientefunci´n:
o
f(x) =

2x2 + x + 3
.
x3 + x2 + x + 1

1. Encontrar a y b tales que
f(x) =

x2

b
a
+
.
+1 x+1

2. Calcular la siguiente primitiva
2x2 + x + 3
dx.
x3 + x2 + x + 1
3.Calcular la siguiente primitiva
2 sin2 (t) + sin(t) + 3 cos(t)
dt.
sin3 (t) + sin2 (t) + sin(t) + 1
Soluci´n:
o
1. Para encontrar a y b debe ocurrir que
f(x) =

a
b
a(x + 1) + b(x2 + 1)
ax + a+ bx2 + b
bx2 + ax + (a + b)
+
=
= 2
=
,
x2 + 1 x + 1
(x2 + 1)(x + 1)
(x + 1)x + (x2 + 1)
x3 + x2 + x + 1

por lo tanto
a = 1,

b = 2,

a + b = 3.

2. Por (1) se tiene
f(x)dx =dx
dx
+2
= 1 tan−1 (x) + 2 ln (|1 + x|) + K.
x2 + 1
x+1

3. Sea x = sin(t), entonces dx = cos(t)dt. Luego, por (2) se tiene
2 sin2 (t) + sin(t) + 3 cos(t)
dt =
sin3 (t) + sin2 (t) + sin(t)+ 1
=
=

2x2 + x + 3 cos(t)
dx
·
,
3 + x2 + x + 1
x
cos(t)
2x2 + x + 3
dx,
x3 + x2 + x + 1
dx
dx
+2
,
2+1
x
x+1

= tan−1 (x) + 2 ln (|1 + x|) + K,
= tan−1 (sin(t)) + 2 ln (|1 +sin(t)|) + K.
1

Ejercicio 2

Sean
π/2

π/2

e2x cos2 (x)dx,

I=

e2x sin2 (x)dx.

J=

0

0

1. Calcular la integral I + J.
2. Calcular la derivada de f(x) =

1
4

e2x(cos(2x) + sin(2x)) .

3. Deducir el valor de la integral I − J. Se puede utilizar la f´rmula cos2 (x) − sin2 (x) = cos(2x).
o
4. Calcular las integrales I y J.
Soluci´n:
o
1. Tenemos que
π/2I+J=

π/2

e

2x

2

2

cos (x) + sin (x) dx =

0

eπ/2 − e0
=
e dx =
2
2x

0

√
eπ − 1
.
2

2. Tenemos que
df
f(x) =
dx
=
=
=
=

d 1 2x
e (cos(2x) + sin(2x)) ,dx 4
1 d 2x
·
e (cos(2x) + sin(2x)) ,
4 dx
1 d 2x
d
(cos(2x) + sin(2x)) ,
e (cos(2x) + sin(2x)) + e2x
4 dx
dx
1
2e2x (cos(2x) + sin(2x)) + 2e2x (cos(2x) − sin(2x)) ,
4
2e2x
(cos(2x)...