Bloque De Lgebra

TEORÍA
Departamento:
Asignatura:
Tema:

Matemáticas

Matemáticas II

Bloque de Álgebra

Fecha de entrega:

lunes, 23 de febrero de 2015

Fecha de recogida: Fecha de recogida

MATRICES
 DEFINICIONES
Las siguientes tablas numéricas son matrices:
1 7 2 6
2


 
 0 4 3 6  , 1 2 8 7 3  ,

 1 1 4 5  



5
 
 3 ,
4
 
 1 

 3 1 4 


 5 10 6 
 4 2 5 



Laprimera es una matriz de 3 filas y 4 columnas. Su dimensión es 3 x 4.
La segunda es una matriz de dimensión 1 x 5 (1 fila y 5 columnas). A este tipo de
matrices se las llama vectores filas. Este es un vector fila de dimensión 5.
La tercera es un vector columna de dimensión 4 (es una, matriz 4 x 1)
La cuarta es una matriz 3 x 3. Se llama matriz cuadrada de orden 3.
Las matrices son tablas numéricasrectangulares:
 a11 a12

 a21 a22
A   a31 a32

...
 ...
a
 m1 am2

a13
a23
a33
...
am3

... a1n 

... a2n 
... a3n 

... ... 
... amn 

Esta es una matriz de m filas y n columnas.
Es de dimensión m x n.
Los elementos aij son números reales

Cada término tiene dos subíndices que indican la fila y la columna a las que pertenece.
El término a23 es el que está en la segunda fila y terceracolumna.
Si m = n, se dice que la matriz es cuadrada.
 Dos matrices son iguales cuando son de la misma dimensión y, además, coinciden
término a término.
 Se llama traspuesta de una matriz A a otra matriz At que se obtiene al cambiar en A
las filas por columnas y las columnas por filas.
 Una matriz A es simétrica si At = A. Para que una matriz sea simétrica,
necesariamente ha de ser cuadrada.Página

1

- EJEMPLOS:

i.

7
7 1 4 2

1


La matriz traspuesta de A   0 5 1 3  es A t  
4
6 2 0 5



2

0 6

5 2
1 0

3 5

1 6 5


ii. La matriz B   6 0 4  es simétrica porque Bt = B.
5 4 6



 La matriz unidad, o identidad, es una matriz cuadrada con los elementos de la
diagonal principal iguales a 1 y el resto de elementos iguales a 0.
1 0 0
1 0


I2 
,
I

 3 0 1 0
0
1


0 0 1



 OPERACIONES CON MATRICES
 Suma de matrices: para que dos matrices puedan sumarse, es necesario que tengan
la misma dimensión. En tal caso, se suman término a término:
 Producto de un número por una matriz: se multiplica por el número cada término
de la matriz.
 Producto de una matriz fila por una matriz columna: ambas de la misma
dimensión (1 x n, n x 1),es un número que se obtiene multiplicándolas término a término y
sumando los resultados:

 a1

a2

a3

 b1 
 
 b2 
... an    b3   a1b1  a2b2  a3b3  ...  anbn
 
 ... 
b 
 n

 Producto de matrices: para que dos matrices A y B puedan multiplicarse, es
necesario que el número de columnas de la primera coincida con el número de filas de la
segunda. En tal caso, el producto A·B= C es otra matriz cuyos elementos se obtienen
multiplicando cada vector fila de la primera por cada vector columna de la segunda. La
matriz C resultante tiene tantas filas como A y tantas columnas como B.

Amxn  Bnxp  Cmxp
No se cumple la propiedad conmutativa: A  B  B  A
- EJEMPLOS:

Página

2

1 6 
2 3 5  
  2·1  3·7  5·0 2·6  3·2  5·(5)   23 7 

  7 2   


 72 4   0 5   7·1  2·7  4·0 7·6  2·2  4·(5)   21 26 



 RANGO DE UNA MATRIZ
Entre las filas de las matrices (y también entre sus columnas) pueden existir relaciones
de dependencia lineal, cuyo conocimiento será de gran importancia para el estudio de los
sistemas de ecuaciones.
 Vectores fila en una matriz
Las filas de una matriz pueden ser consideradas vectores. Es posible quesean
linealmente independientes (L.I.) y es posible que unas dependan linealmente de otras. Por
ejemplo:
 2 3 1 4 
A
 Sus dos filas son L.I.
1 0 4 5 
1 
5


6
3 
B
Las dos filas son L.I. Las otras dos dependen linealmente de las primeras:
 1 17 


 11 2 

(3ª) = 5·(1ª) – 4·(2ª)
(4ª) = (1ª) + (2ª)

 2 3 5 


C   1 2 1  Las dos primeras filas son L.I. la tercera de...