Boletin 01

Ejercicios resueltos
Bolet´ın 1
Leyes de Kepler y Ley de gravitaci´on universal

Ejercicio 1
Dos planetas de masas iguales orbitan alrededor de una estrella de masa mucho mayor.
El planeta 1 describe una ´orbita circular de radio r1 = 108 km con un periodo de rotaci´on
T1 = 2 a˜
nos, mientras que el planeta 2 describe una ´orbita el´ıptica cuya distancia m´as
pr´oxima es r1 = 108 km y la m´asalejada es r2 = 1,8 · 108 km tal y como muestra la figura.
¿Cu´al es el periodo de rotaci´on del planeta 2?

Soluci´
on 1
Para un objeto que recorre una ´orbita el´ıptica su distancia media al astro central
coincide con el valor del semieje mayor de la elipse.
De la figura adjunta se deduce que la distancia media del planeta 2 a la estrella es:
r=

r1 + r2
108 + 1,8 · 108
=
= 1,4 · 108 km
2
2Aplicando la tercera ley de Kepler:
T12
T22
=
r13
r3
Y sustituyendo:
22
T22
=
(108 )3
(1,4 · 108 )3
Despejando el periodo de rotaci´on del planeta 2 es: T2 = 3,3 a˜
nos.

Ejercicio 2
Calcula la masa del Sol, considerando que la Tierra describe una ´orbita circular de
150 millones de kil´ometros de radio.

Soluci´
on 2
Aplicando la segunda ley de Newton al movimiento de traslaci´on de la Tierra, secumple que:
F = mT · aN
mS · mT
v2
=
m
·
T
r2
r
mS
G·
= v2
r
Sustituyendo la velocidad de la Tierra por su relaci´on con el periodo de traslaci´on, se
tiene:
4 · π 2 · r2
mS
=
G·
r
T2
4 · π 2 r3
mS =
· 2
G
T
El periodo es (tomando el a˜
no como 365,25 d´ıas): T = 3,156 · 107 s
Sustituyendo:
G·

mS =

4 · π2
(150 · 109 )3
·
= 2,01 · 1030 km
6,67 · 10−11 (3,156 · 107 )2

Ejercicio 3
La masa de la Lunaes 1/81 de la masa de la Tierra y su radio es 1/4 del radio de la
Tierra. Calcula lo que pesar´a en la superficie de la Luna una persona que tiene una masa
de 70 kg.

Soluci´
on 3
Aplicando la ley de gravitaci´on universal en la superficie de la Luna, se tiene:
PL = G ·

mL · m
(mT /81) · m
16 G · mT
16
=
·
· g0,T · m
=G·
·m=
2
2
2
RL
(RT /4)
81
RT
81

Sustituyendo:
PL =

16
· 9,8 · 70 = 135,5N
81Ejercicio 4
Expresa en funci´on del radio de la Tierra, a qu´e distancia de la misma un objeto que
tiene una masa de 1 kg pesar´a 1 N.

2

Soluci´
on 4
Aplicando la ley de gravitaci´on universal:
P = FT,obj = G ·
r=

mT · m
r2

G · mT · m
P

Aplicando la relaci´on:
g0 = G ·

mT
RT2

G · mT = g0 · RT2 , se tiene:
r=

g0 · RT2 ·

m
= RT ·
P

9,8 · 1
= 3,13 · RT
1

Ejercicio 5
Calcula el momentoangular de la Tierra respecto al centro del Sol, despreciando el
movimiento de rotaci´on de la Tierra sobre s´ı misma y considerando a la ´orbita de la Tierra
como circular. Datos: MT = 6 · 1024 kg;
ro´rbita = 1,5 · 108 km

Soluci´
on 5
La velocidad de traslaci´on de la Tierra alrededor del Sol es:
v=

2·π·r
2 · π · 1,5 · 108
=
= 30 km/s
t
365 · 24 · 3600

Considerando a la Tierra y al Sol comoobjetos puntuales y suponiendo que la ´orbita de
la Tierra es circular alrededor del Sol, entonces el vector de posici´on y el vector velocidad
de la Tierra respecto al Sol son siempre perpendiculares. Por tanto, el momento angular
de la Tierra respecto del Sol es un vector perpendicular al plano de la ´orbita del planeta,
cuyo m´odulo es:
|L| = |r × m · v| = r · m · v · sin 90◦ = 1,5 · 1011 · 6 ·1024 · 3 · 104 = 2,7 · 1040 kg· m2 / s

Ejercicio 6
La Tierra en su perihelio est´a a una distancia de 147 millones de kil´ometros del Sol y
lleva una velocidad de 30,3 km/s. ¿Cu´al es la velocidad de la Tierra en su afelio, si dista
152 millones de kil´ometros del Sol?

Soluci´
on 6
La direcci´on de la fuerza con la que act´
ua el Sol sobre la Tierra coincide con la direcci´on
del vector deposici´on de la Tierra respecto del Sol, por lo que el momento angular de la
Tierra respecto del Sol permanece constante a lo largo de toda la trayectoria.
Lperihelio = Laf elio
3

Aplicando la definici´on de momento angular y como el vector de posici´on es perpendicular
a la velocidad, se tiene:
r p × m · vp = r a × m · va
rp · v p = ra · v a
Sustituyendo:
147 · 106 · 30,3 = 152 · 106 · va
va = 29,3...