Botella de klein

Introducción

La palabra "topos" proviene del griego y significa "lugar". La Topología es una rama muy importante de las Matemáticas que estudia aquellas propiedades de los objetos geométricos que tienen que ver con la "proximidad" o la "posición relativa" entre puntos. Podríamos referirnos a la Topología como una "geometría cualitativa", en la que se deja a un lado nociones cuantitativas comolongitud, ángulo, área, volumen, etc. (propias de la geometría clásica) y se centra más bien en nociones cualitativas como, por ejemplo, si tiene agujeros o no, borde, o si se puede partir en componentes conexas, etc.

Se considera a Leonhard Euler el pionero de la Topología al resolver el famoso problema de los puentes de Königsberg. Euler se refirió a este problema como un problema de"geometriam situs" o geometría de posición. Ya a mediados del siglo XIX, siguieron otros problemas del mismo estilo. El más famoso es sin duda el problema de colorear un mapa con sólo cuatro colores (planteado por Francis Guthrie) que mencionamos después.

Johan B. Listing fue quien acuñó el termino topología en su artículo "Vorstudien zur Topologie" en 1847. En el siglo XX se ha utilizado también elnombre analisis situs o análisis de posición para referirse a la geometría de las superficies, estudiadas por Georg. F. Riemann y Camille Jordan, entre otros. Muchos destacan el artículo de Henri Poincaré "Analisis Situs" de 1895, como el primer estudio sistemático de la Topología, y donde se empieza a tratar con rigor conceptos topológicos.

Felix Klein (1849-1925) contribuía en su programa deErlangen (1872) a unificar de una manera elegante las distintas geometrías existentes del momento. Según él, se pueden clasificar los distintos tipos de geometrías de acuerdo al tipo de transformaciones que se permiten realizar. Así, por ejemplo, la Geometría Euclídea estudia las propiedades que se conservan a través de los movimientos euclídeos, la Geometría Proyectiva respecto a lasproyectividades y la Geometría Diferencial respecto a difeomorfismos. ¿Y cómo se ve a la Topología bajo este punto de vista? Por ejemplo, un topólogo consideraráuna elipse o un cuadrado como una circunferencia (como si fueran gomas elásticas), igualmente, verá un cubo o la superficie de una naranja como una esfera perfecta, ya que le dará igual los picos del cubo ni las arrugas de la naranja (que sí importana un Geómetra Euclideo o un Geómetra Diferencial). El topólogo puede alisarlos sin problemas mediante transformaciones que se llaman "homeomorfismos" (Se dice entonces que los objetos transformados son homeomorfos entre ellos). Un topólogo es incapáz de distinguir un donut de una taza de café: Como se aprecia en esta fotografía (tomada "by me" en el London Science Museum) como si fuesen objetosde arcilla fresca, podemos doblarlos, estirarlos o encogerlos para pasar de uno a otro. ¡Cuidado! No se permiten transformaciones que provocan una discontinuidad como por ejemplo cortar, pinchar o pegar puntos separados. Según el punto de vista de Klein, la Topología, en su intento de clasificar los objetos geométricos salvo homeomorfismo, proporciona herramientas o invariantes que permitendistinguir entre espacios no homeomorfos, y estudia aquellas propiedades que se conservan a través de homeomorfismos.

Ya que hemos hablado del donut y la naranja, ¿cómo podríamos distinguirlos? El donut tiene un agujero y la naranja no, pero ¿cómo podrían descubrirlo seres 2-dimensionales que viviesen sobre sus superficies? (Recordar que la superficie de un donut se llama toro). Necesitarían, porejemplo, un perro (2-dimensional, por supuesto). Atado con una correa larga elástica y sin soltar el extremo libre, lo dejarían correr un par de días por la superficie y lo llamarían para que volviese a casa. En caso de vivir sobre un donut, es bastante probable que la correa esté tirante, tanto más cuantas más vueltas haya dado alrededor del agujero del donut. Sin embargo, en el caso de vivir sobre...