Breve Introducci´On A La Teor´Ia De Mather Sobre Lagrangeanos

Breve introducci´n a la Teor´ de Mather sobre o ıa Lagrangeanos
Mario Ponce Acevedo

1

Introducci´n o

Pretendiendo encontrar un marco adecuado para generalizar la teor´ de Aubryıa Mather sobre aplicaciones twist a mayores grados de libertad (ver [MaFo]), Mather [Ma1] introduce el estudio de medidas minimizantes sobre lagrangeanos peri´dicos definidos positivos, inspirado por un resultadode Moser [Mos] que o escencialmente dice que toda funci´n twist mon´tona se puede obtener como o o una aplicaci´n de tiempo uno de un flujo hamiltoniano con algunas hip´tesis o o adicionales.

2

Hip´tesis de Mather para los Lagrangeanos o

Sea M una variedad compacta, conexa, C ∞ y consideremos L : T M × R → R una funci´n C 2 que llamaremos Lagrangeano. Supondremos que L satisface las osiguientes propiedades: 1. Peri´dico: L(t + 1) = L(t) o 2. Definido positivo: L |T M ×{t} mente Hess > 0. 3. Crecimiento superlineal:
L(ξ,t) ξ

∀t ∈ R

(hip´tesis de Moser). o

es definido positivo, o bien equivalente→ +∞ cuando ξ → ∞.

4. Completitud: El flujo de Euler-Lagrange asociado es completo, es decir, las ´rbitas del flujo est´n definidas para todo tiempo t ∈ R. o a Observaciones. Lahip´tesis (2) garantiza la existencia de la transformada o de Legendre, adem´s Herman[Her] mostr´ que la propiedad del gr´fico existe a o a s´lo para este tipo de din´mica. La hip´tesis (3) garantiza la compacidad de o a o ciertos conjuntos, as´ como buenas propiedades de algunas funciones convexas ı relevantes. La hip´tesis (4) es escencial y asegura que las curvas minimizantes o son soluciones de laecuaci´n de Euler- Lagrange, por lo tanto de clase C 1 .En o [BaMi] se muestra que un minimizante sin esta condici´n no es necesariamente o de clase C 1 .

1

2.1

El flujo de Euler-Lagrange

Dado un lagrangenao L, estamos interesados por curvas de clase C 1 ,γ : [t0 , t1 ] → M con extremos fijos, es decir, γ(t0 ) = a, γ(t1 ) = b, con a, b ∈ M , que son puntos cr´ ıticos de la acci´n o
t0A(γ) =
t1

L(γ, γ, t)dt ˙

Esta condici´n variacional es equivalente a una condici´n local que escrita en o o coordenadas toma la forma conocida como ecuaci´n de Euler-Lagrange: o d Lv = Lx dt (1)

Utilizando la hip´tesis de convexidad (3), podemos ver que esta ecuaci´n repreo o senta un campo C 1 sobre T M , luego induce un flujo Φt (x, v, t0 ) sobre T M ×T 1 .

3

Medidasminimizantes

Sea P ∗ la compactificaci´n a un punto de T M × T 1 , es decir, P ∗ = T M × T 1 ∪ o {∞}. El flujo de Euler-Lagrange se extiende continuamente sobre P ∗ siendo {∞} un punto fijo (poniendo L (∞) = ∞ ). Denotaremos este flujo por ΦL . Sea ML el conjunto de medidas de probabilidad borelianas invariantes por el flujo ΦL . Como P ∗ es un espacio m´trico compacto, del teorema de representaci´n e o deRiesz, ML es subconjunto del dual de C(P ∗ ). Claramente ML es convexo y hereda de la topolog´ w∗ de C ∗ (P ∗ ) una topolog´ la topolog´ vaga, que lo ıa ıa, ıa hace compacto y metrizable. Si bien el teorema de Kryloff-Bogoliuboff asegura la existencia de una medida de probabilidad invariante, en este caso el ´tomo en {∞} no nos entrega ninguna a informaci´n interesante. Estamos interesados en medidasinvariantes de acci´n o o finita. Definimos la acci´n promedio de una medida por o A(µ) = Ldµ

Como L es inferiormente acotado (superlinealidad), esta acci´n est´ bien definida, o a aunque puede asumir el valor +∞. Es un principio general que medidas invariantes son obtenidas como l´ ımites vagos de medidas equidistribuidas a lo largo de ´rbitas. Para obtener una meo dida µ ∈ ML con A(µ) < ∞,aplicaremos este principio a ´rbitas bien escogidas o (ver secci´n 3.4). o ˜ ˜ Dada una curva absolutamente continua γ : [t0 , t1 ] → M , con M un recubrimiento adecuado de M , definimos su acci´n por o
t1

A(γ) =
t0

L(dπγ(t), t)dt

2

˜ donde π : M → M denota la proyecci´n de recubrimiento. Como dπγ(t) existe o para casi todo t y L es acotado inferiormente, A(γ) est´ bien definida aunque a...