cálculo de límites

Notas sobre continuidad en una variable
Antonio Garv´
ın

1

L´
ımites y continuidad en una variable

Para empezar, ¿que significa la expresi´n
o
lim f (x) = l ?

x→a

siendo f una funci´n y a y l numeros reales, y si a es ±∞, o l es ±∞.
o
Sin entrar en formalismos, esto quiere decir que podemos conseguir que
f (x) est´ cerca de l, tanto como queramos (aunque quiz´ no llegue aser l),
e
a
si tomamos x suficientemente cerca de a (pero sin llegar a ser a).
Vamos a definir formalmente lo que estas expresiones significan, dejaremos algunas, propuestas como ejercicio. ¿Recordamos lo que significa el
concepto de l´
ımite lateral?, ¿Sabemos dar algunos ejemplos?
A partir del concepto de l´
ımite introduciremos el concepto de continuidad
en un punto. Se les har´ observar alos alumnos que a diferencia del c´lculo
a
a
del l´
ımite en que el punto es irrelevante, para la continuidad si es importante.
f es continua en a si
lim f (x) = f (a)
x→a

Analizaremos los motivos por los cuales una funci´n puede no ser continua
o
y haremos ejemplos y ejercicios con continuidades evitables e inevitables.
Definiremos asimismo el concepto de continuidad lateral.Recordaremos los teoremas m´s importantes relativos a funciones cona
tinuas.

1.1

Proposici´n
o

Sea f : A → R y sea x0 ∈ A. Supongamos que f es continua en x = x0 ,
y supongamos que f (x0 ) = 0. Entonces ∃ δ > 0 / si | x − x0 |< δ ⇒
f (x)f (x0 ) > 0.
Es decir, ”existe un entorno de x0 en el que f mantiene el signo”.

1

1.2

Teorema (de Bolzano)

Sea f : [a, b] → R, continua en [a,b] (es decir, continua en cada punto de
[a, b]).
Si f (a)f (b) < 0, entonces existe c ∈ (a, b) tal que f (c) = 0.
Es decir, ”si f es continua en un intervalo y cambia el signo en ese
intervalo, se anula en alg´n punto del intervalo”.
u

1.3

Teorema (de los valores intermedios)

Si f : [a, b] → R es continua en [a, b], y si λ es cualquier n´mero entre f (a) y
u
f (b), entonces existe c∈ (a, b) tal que f (c) = λ.
Es decir, ”toda funci´n continua en un intervalo toma todos los valores
o
intermedios entre los valores de los extremos del intervalo”.

1.4

Teorema (del valor m´ximo y m´
a
ınimo)

Si f : [a, b] → R es continua, entonces f alcanza su valor m´ximo y su valor
a
m´
ınimo en [a, b] Es decir, ∃ α ∈ [a, b] de manera que f (α) ≥ f (x) ∀ x ∈ [a, b],
y ∃ β ∈[a, b] de manera que f (β) ≤ f (x) ∀ x ∈ [a, b].

1.5

Consecuencia (de los dos teoremas anteriores)

La imagen por una funci´n continua de un intervalo cerrado y acotado es
o
otro intervalo cerrado y acotado.
Demostraci´n:
o
Si f (α) es el valor m´ximo, y f (β) el m´
a
ınimo, entonces f ([a, b]) =
[f (β), f (α)].

1.6

Ejemplo

La hip´tesis de continuidad en el teorema deBolzano (y en los dem´s) no
o
a
se puede suprimir.
f (x) =

si x ∈ [0, 1]
si x ∈ (1, 2]

3
−3

Consideremos f : [0, 2] → R. f (0) = 3 positivo, f (2) = −3 negativo, pero
no existe c ∈ [0, 2] / f (c) = 0.
Lo que falla es que f no es continua en [0, 2].

2

1.7

Ejemplo

La hip´tesis de cerrado y acotado en el teorema del valor m´ximo y m´
o
a
ınimo
no se puede suprimir.
1. Siel intervalo no est´ acotado el teorema no se cumple siempre. f (x) =
a
x definida en [0, ∞) no alcanza el m´ximo.
a
2. Tampoco se cumple si el intervalo no es cerrado. f (x) =
1
lim
= ∞ y por tanto no alcanza el m´ximo en (0, 1].
a
x→0+ x

1.8

1
x

en (0, 1],

Infinit´simos equivalentes
e

Si lim f (x) = 0 decimos que f es un infinit´simo en el punto x = a.
e
x→a
Si f y gson infinit´simos en x = a, decimos que son equivalentes si
e
lim

x→a

f (x)
=1
g(x)

En este caso escribimos f ∼ g en x = a. Esta relaci´n es de equivalencia en
o
el conjunto de todos los infinit´simos en x = a ya que verifica las propiedades
e
reflexiva, sim´trica y transitiva.
e

1.9

Algunos infinit´simos equivalentes en x = 0
e

ex − 1 ∼ log(1 + x) ∼ tag x ∼ sen x ∼ x ;
x2...