Cálculo stewart

gnffica de la funci6n

distancia

de la pelota

Q(a + h, 4.9(a + h)2) de la gnifica, entonces

(Fig. 5) y consideramos los puntos pea, 4.9i) I la pendiente de la recta secante PQ es

4.9(a (a 10 cual es 10 mismo que la velocidad

+ h)2 - 4.9a2

+

h) - a

promedio durante el periodo [a, a + h]. Por 10 tanto,la velocidad en el instante t a (ellfmite de estas velocidades promedioconforme h tiende a0) debe ser igual ala pendiente de la recta tangente en P (ellfmite de las pendientes de las rectas

=

secantes).

pendiente de la recta secante = velocidad promedio

pendiente de la tangente = velocidad instantanea

Los ejemplos 1y debemos ser capaces lfmites en las cuatro y velocidades, en la

3 hacen ver que para resolver problemas de tangentes y de velocidades,de hallar lfmites. Despues de estudiar los metod os para calcular 10s secciones sigtiientes, regresaremos a los problemas de hallar tan gentes secci6n 2.6.

~

EJerclclos .•••••.....••••••••••••••••••••••••••.•••.•••••.•.......

I. Los datos experimentales dex.

de la tabla definen y como funci6n

cardiacos despues de t minutos. Cuando se situan los datos de la tabla en una gnifica, lapendiente de la recta tangente representa la frecuencia cardiaca en latidos por minuto.

t (min) Latidos a) Si P es el punto (3, 1.3), encuentre las pendientes de las rectas secantes PQ, cuando Q es el punto de la gnifica con x = 0, 1,2,4 y 5. b) Estime la pendiente de la recta tangente en P hallando el promedio de las pendientes de dos rectas secantes. c) Use una gnifica de la funci6n paraestimar la pendiente de la recta tangente en P. 2. Se usa un monitor cardiaco para medir la frecuencia cardiaca de un paciente despues de la cirugfa. Recopila el mlmero de latidos

36 2530

38 2661

40 2806

42 2948

44

3080

El monitor estima este valor calculando la pendiente de una recta secante. Use los datos para estimar la frecuencia cardiaca del paciente, despues de 42 minutos,usando la recta see ante entre a) t = 36 b) t y y y t = 42 t t

= 38

= 42
= 42

c) t = 40

d) 1= 42 Y 1= 44 LA que conclusiones llega? 3. EI punto P(4, 2) esta sobre la curva y = .[;. a) Si Q es el punto (x, .[;), use su caiculadora con el fin de hallar la pendiente de la recta secante PQ (correcta hasta seis cifras decimales) para los siguientes valores de x. ii) 4.5 iii) 4.1 iv) 4.01 v)4.001 vi) 3 vii) 3.5 viii) 3.9 ix) 3.99 x) 3.999 b) Con los resultados del inciso a), conjeture el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva en P(4, 2). c) Con la pendiente del inciso b), encuentre una ecuaci6n de la recta tangente a la curva en P(4, 2). 4. EI punto P(0.5, 2) esta sobre la curva y = l/x. a) Si Q es el punto (x, 1/x), use su calculadora con el fin de hallar lapendiente de la recta secante PQ (correcta hasta seis cifras decimates) para los siguientes valores de x. i) iii) v) vii) ix) 2 0.9 0.7 0.55 0.45 ii) iv) vi) viii) x) I 0.8 0.6 0.51 0.49
i) 5

a) Encuentre la velocidad promedio durante los intervalos dados: i) [1,2] iv) [1,1.01] ii) [1,1.5] v) [1,1.001) iii) [1,1.1]

b) Encuentre la velocidad instantanea despues de I s.

7. EI desplazamiento (enpies) de una partfcula que se mueve en una recta se expresa por s = 13/6, en donde 1 se mide en segundos. a) Encuentre la velocidad promedio durante los periodos siguientes: i) [1,3] iii) [1,1.5] ii) [1,2] iv) [1,1.1]

b) Encuentre la velocidad instantanea cuando 1 = 1. c) Dibuje la grafica de s como funci6n de 1 y trace las rectas secantes cuyas pendientes son las velocidades promedios halladasen el inciso a). d) Trace la recta tangente cuya pendiente es la velocidad instantanea hallada en el inciso b).

1 (segundos) s (pies)

0 0

I 10

2 32

3 70

4 119

5 178

b) Con los resultados del inciso a), conjeture el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva en P(O.5, 2). c) Con la pendiente del inciso b), encuentre una ecuaci6n de la recta tangente a la curva en...