Cadenas De Markov

Tarea
Cadenas de Markov

Modelos Estocásticos
Profesor: Fernando Paredes

Pregunta Nro.1
Una determinada empresa de manufactura dispone de un lugar con espacio suficiente para almacenar los desperdicios generados semanalmente. Las cantidades de desperdicios que produce semanalmente la empresa, vienen dados por variable aleatorias X independientes idénticamente distribuidas, condistribución de probabilidades dada por: P {X = k} = αk, k = 0, 1, 2,.......
Al final de cada semana, si se han acumulado más de 7 metros cúbicos de desperdicios, el espacio destinado para almacenar éstos, se vacía completamente. En caso contrario, no se hace acción alguna.
a) Defina el proceso estocástico como una Cadena de Markov en Tiempo Discreto: Defina la variable aleatoria como la cantidad dedesperdicios al comienzo de cada semana. Defina el espacio de estados correspondientes.
Sea Xn: N° de metros cúbicos de desperdicios generados en la semana n.
Sea Yn: N° de metros cúbicos de desperdicios al comienzo de la semana n.
Sea Yn+1: Yn + Xn , si Yn + Xn ≤ 7
0 , si Yn + Xn > 7

Espacio de estados: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

b) Determine el diagrama de probabilidadesde transición en una etapa para la cadena. Determine la matriz P de probabilidades de transición en una etapa (Debe especificar el cálculo de los correspondientes elementos de la matriz P)
P {X=k} = αk , con k= 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
| | α0 | α1 | α2 | α3 | α4 | α5 | α6 | α7 | |
| | α7 | α0 | α1 | α2 | α3 | α4 | α5 | α6 | |
| | α6 + α7 | 0 | α0 | α1 | α2 | α3 | α4 | α5 ||
P = | | α5 + α6 + α7 | 0 | 0 | α0 | α1 | α2 | α3 | α4 | |
| | α4 + α5 + α6 + α7 | 0 | 0 | 0 | α0 | α1 | α2 | α3 | |
| | α3 + α4 + α5 + α6 + α7 | 0 | 0 | 0 | 0 | α0 | α1 | α2 | |
| | α2 + α3 + α4 + α5 + α6 + α7 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | α0 | α1 | |
| | α1 + α2 + α3 + α4 + α5 + α6 + α7 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | α0 | |

C1: [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7] es Recurrente PositivaAperiódica.

c) Analice la existencia de la distribución límite y distribución estacionaria. En el caso de que éstas existan, deje expresado como se pueden calcular.
Como la cadena es irreducible y todos los estados se comunican entre sí, se forma una sola clase la cual se clasifica como recurrente positiva aperiódica, por ende si existe distribución limite. También existe distribución estacionariaya que existe distribución limite y esta es independiente de la distribución inicial de probabilidades, por ende usaremos el vector π para denotar esta distribución. πT = (π0 π1 π2 π3 π4 π5 π6 π7).
d) Si al comienzo de una semana cualquiera el lugar destinado para acumular desperdicio tiene 3 metros cúbicos, ¿Cuántas semanas transcurrirán en promedio para que dicho lugar tenga nuevamentetal cantidad de desperdicios?
El cálculo de las semanas que transcurrirán para que el lugar tenga nuevamente 3 metros cúbicos, es el siguiente:

E[T(3,3)] = 1/π3
Pregunta Nro.2
En un determinado taller de fotocopiado de trabajos de gran tamaño, existen dos fotocopiadoras de iguales características, cada una de ellas operadas en paralelo y en forma independiente por un determinado empleado.Como política del taller, sólo es capaz de mantener en el sistema 4 trabajos, incluyendo aquellos que se están procesando. Suponga que los trabajos llegan al sistema según un proceso de poisson a tasa λ=3 por hora. Suponga que los productos se pueden procesar ya sea en la fotocopiadora 1 o en la fotocopiadora 3, pero, cuando el sistema está vacío, los productos se procesan en la fotocopiadora 1con probabilidad 0.6 y en la fotocopiadora 2, con probabilidad 0.4. Los tiempos de proceso en las fotocopiadoras 1 y 2, son independientes y tienen distribución exponencial con medias 0.5 y 0.4 horas, respectivamente.
a) Defina el proceso estocástico como una Cadena de Markov en Tiempo Continuo: Defina la variable aleatoria, defina el espacio de estados, haga un diagrama de tasas de transición...