Cadiz

Pontificia Universidad Cat´lica de Chile o Escuela de Ingenier´ ıa

Teor´ Electromagn´tica ıa e Ayudant´ 1 ıa
En este curso veremos algunas consecuencias y aplicaciones de la teor´ electromagn´tica. ıa e ´ Esta fue descrita formalmente en un conjunto de ecuaciones diferenciales, llamadas Ecuaciones de Maxwell1 . El tremendo ´xito que tuvo se debi´ en primer lugar a la capacidad de explicar e ouna gran cantidad de fen´menos, que aparentemente no guardaban relaci´n entre s´ Adem´s, o o ı. a la teor´ fue capaz de predecir otros fen´menos que en su tiempo no eran del todo conocidos, ıa o por ejemplo, la propagaci´n de ondas electromagn´ticas de energ´ cuya velocidad te´rica de o e ıa, o propagaci´n coincid´ con la que hasta ese entonces se conoc´ como la velocidad de la luz. La o ıa ıaexistencia de estas ondas fueron demostradas por Hertz, lo que sin duda cambi´ el mundo para o siempre 2 . La teor´ electromagn´tica ha permitido un avance tecnol´gico nunca antes visto, ıa e o y hoy en d´ pr´cticamente todo lo utilizado en el diario vivir debe su existencia al desarrollo ıa a y comprensi´n de fen´menos electromagn´ticos. Matem´ticamente, la electrodin´mica consiste o o e a a en unateor´ de campos descrita por cuatro ecuaciones diferenciales acopladas ıa

Es posible constru´ teor´ ır ıas, que consisten en modelos matem´ticos, para tratar de exa plicar determinados fen´menos f´ o ısicos. Las ecuaciones de Maxwell representan las leyes de la electrodin´mica en su forma m´s simple. (Por simple entendemos que su escritura es lo sua a ficientemente compacta y manejable). Otracosa muy distinta es tratar de entender lo que significan, y el mejor ejemplo del concepto de simpleza que estamos utilizando es el hecho de que estas ecuaciones que s´lo han tomado un peque˜o recuadro de esta p´gina, tienen conseo n a cuencias tremendas. El lenguaje en el que est´n escritas es el del c´lculo diferencial de campos a a vectoriales. Para comprender realmente lo que significa cada una,es requisito fundamental el manejo de ´ste. e
A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field, James Clerk Maxwell, 1865 No solamente en un desarrollo tecnol´gico, sino en la comprensi´n misma del universo. Las leyes de la o o electrodin´mica son incompatibles con la relatividad Galileana, y motivaron a Einstein a postular su teor´ de a ıa la relatividad
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0.1.

´ Algrebra de Vectores enR3

Esta es una lista de identidades elementales del algebra vectorial, que se supondr´n bien ´ a conocidas A · B = Ax Bx + Ay By + Az Bz ˆ A × B = (Ay Bz − Az By ) ˆ + (Az Bx − Ax Bz ) ˆ + (Ax By − Ay Bz ) k i j A×A=0 A· A×B =0 A· B×C = A×B ·C A× B×C = A·C B− A·B C

0.2.

C´lculo diferencial en R3 a

Sea f : [R3 ] → R una funci´n real. Tambi´n es llamada campo escalar, pues a cada punto oe 3 del espacio (R ) le asocia un n´mero real (un escalar). Ejemplo de un campo escalar puede ser u la temperatura en cierta regi´n del espacio T : [Ω ⊆ R3 → R] o

Figura 1: T (x, y, z) representa un campo escalar sobre Ω Adem´s de la existencia de campos escalares, tambi´n existen campos vectoriales. La a e idea es bien simple, a cada punto del espacio se le asocia un vector. En R3 , el tipode campos vectoriales que nos interesar´n son de la forma F : [Ω ⊆ R3 ] → R3 . a

Figura 2: La velocidad de los atomos de un objeto que rota es un ejemplo de campo vectorial ´

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0.2.1.

Derivadas de un campo escalar

Si f es un campo escalar diferenciable (y por lo tanto una funci´n continua) sobre un o dominio D ⊆ R3 , entonces est´ definido el Gradiente de f a f (x, y, z) = ∂f (x, y,z) ∂f (x, y, z) ∂f (x, y, z) + + ∂x ∂y ∂y

El gradiente es un campo vectorial, pues a cada punto en D le asocia un vector. Es inmediato notar que el gradiente es perpendicular a curvas en donde el campo escalar f es constante, como las curvas que se muestran en la figura 1. (Llamadas isotermas en el caso de que el campo escalar sea la temperatura). En efecto, la curva f (x, y, z) = C puede ser...