caida libre

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MEXICO
FACULTAD DE INGENIERIA
ECUACIONES DIFERENCIALES
PROYECTO FINAL
ALUMNOS:
ALATRISTE FLORES JULIAN R.









INTRODUCCION:

Las leyes de newton y la relación que las cantidades a medir tienen con el concepto de derivación se puede plantear una ecuación diferencial de segundo orden que describa el movimiento de una partícula que se arrojadesde una altura cualquiera para que luego caiga libremente.
En este trabajo es de relevancia destacar las leyes en que nos basaremos:
primera ley de newton (ley de la inercia): "todo cuerpo preserva su estado de reposo o movimiento uniforme y rectilíneo a no ser que sea obligado a cambiar su estado por fuerzas impresas sobre él".
segunda ley de newton (principio fundamental de la dinámica): "la fuerza neta aplicada sobre un cuerpo es proporcional a la aceleración que adquiere dicho cuerpo" .De esta ley se desprende la siguiente ecuación:
F=m*a
De esta ecuación parte el trabajo que en adelante se presentara.

OBJETIVO:
Demostrar una aplicación directa de una ecuación diferencial que sea planteada a partir de conceptos físicos, y apoyados con la tecnología.
Hacer un modelofisicomatemático de la posición de un objeto atreves del tiempo, partiendo de que se encuentra en caída libre, siendo así que mediante esté modelo se podrá determinar la posición de dicho cuerpo en cualquier tiempo.
Por medio de dicha ecuación diferencial se podrá determinar la altura de un objeto, despreciando el rozamiento del aire y en distancias cortas.


PLANTAMIENTO DEL PROBLEMA:
Supóngaseque se quiere saber la posición de una partícula que se encuentra en caída libre, ¿Cuándo caerá al suelo?, ¿después de cierto tiempo a cuanta distancia estará del suelo? ¿Existe alguna expresión matemática o "modelo" que permita obtener, por medio de Ecuaciones Diferenciales, los datos antes mencionados? , ¿Cómo se obtiene?, ¿Cuáles son sus posibles aplicaciones?
Partiendo que el objeto que caees de un peso relativamente pequeño y que las distancias a medir no son muy grandes, se puede despreciar el rozamiento del aire.



DESARROLLO:
Supóngase que se está parado en la azotea de un edificio y se lanza un objeto hacia arriba y se deja caer libremente, calcularemos la posición de la partícula u objeto en un cierto tiempo.
Tomando en cuenta la segunda ley de newton se tiene que: lamasa por la aceleración es igual a la fuerza, en este caso el peso actúa como la fuerza.
ma=F  ma=w
Sustituyendo w=mg donde w se refiere al peso, m es la masa y g es la gravedad se tiene que:
ma=mg ……..…... (1)
Tomando en cuenta la dirección de la aceleración se obtiene
ma=-mg……….. (2)
Pero la aceleración se define como: la derivada de la velocidad con respecto al tiempo

a= ……. (3)
Y la velocidad como: la derivada de la posición con respecto al tiempo
v= ……. (4)
Relacionando las ecuaciones (3) y (4) se tiene que:
a=
Lo cual es lo mismo que tener
……(5)

Si se sustituye (5) en (2) se tiene que:
m=-mg …… (6)





De la cual se tiene unaecuación diferencial, tomando en cuenta algunas condiciones iniciales del problema:
en el tiempo cero la posición es igual a la altura del edificio
S (0)=h0
Y
la velocidad inicial será igual a la velocidad inicial del objeto
S’ (0)=V0
Simplificando se tiene
my’’=-mg
my’’=-mg
y’’=-g …. (7)Resolviendo (7) por separación de variables e integrando con respecto a t se tiene
Y’=-gt + C1
Tomando en cuenta las condiciones iniciales y simplificando se tiene que
V0 =-g (0) + C1
V0=-g (0)+ C1
C1= V0
La nueva ecuación diferencial será:
Y’=-gt+V0
Reescribiendo se tiene que
=-gt+V0
Por separación de variables:
dy = (-gt+V0) dt


Integrando en ambos lados se tiene
y=-g + V0t +...