Cal2_practica_3_2011 1_solucionado

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA
DEL PERU
ESTUDIOS GENERALES CIENCIAS
´
CALCULO
2
◦
Pr´actica N 3
Semestre acad´emico 2011-1
Elaborado por los profesores del curso.
π
1. Calcule la longitud de lacurva x = ln(sec y), y ∈ [0, ].
4

(3.0 ptos.)

π
2. Halle el ´
area de la superficie generada por la rotaci´on de la curva y = cos(2x), x ∈ [0, ],
6
alrededor del eje X.
(3.0 ptos.)
1
, su as´ıntotavertical
(5 − x)3/2
y los ejes coordenados. Si la regi´
on R gira alrededor de dicha as´ıntota, ¿es posible asignar
un n´
umero como medida para el volumen del s´olido generado?, de ser as´ı, calculedicho
volumen.
(3.0 ptos.)

3. Considere la regi´
on R limitada por la gr´afica de f (x) =

+∞

4. Calcule el valor de la integral impropia
1

4x2

1
dx.
− 4x + 5

(3.0 ptos.)

5. Analice laconvergencia:
1

a)
b)

1
dx.
x2 + 3x
0
+∞
ln2 (x + 1)
√
dx.
x x
0
√

6. Sea f (x) =

(2.0 ptos.)
(3.0 ptos.)

sen(x2 )
.
xr

a) Para qu´e valores de r la funci´on f tiene discontinuidad infinita en x = 0.(1.0 pto.)
1

b) Halle los valores de r para los que la integral impropia

f (x) dx es convergente.
0

(2.0 ptos.)
San Miguel, 4 de junio del 2011.
Coordinador de pr´acticas del curso: Ra´
ul Ch´avezPONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ
ESTUDIOS GENERALES CIENCIAS
Cálculo 2
Solucionario de la Práctica N° 3
Semestre Académico 2011-1

1. Calcule la longitud de la curva x = ln(sec y), y ∈ [0,

π].
4

(3.0 ptos.)

Solución
x (y) =

1
sec y

sec y tan y = tan y.
π/4

1 + x (y)

L=

2

π/4

π/4

dy =

1 + tan2 y dy =
0

0

= ln sec y + tan y

π/4
0

sec y dy
0

√
= ln( 2 + 1).

2. Halle el áreade la superficie generada por la rotación de la curva y = cos(2x), x ∈ [0,
eje X.

π
], alrededor del
6
(3.0 ptos.)

Solución
y (x) = −2 sen(2x).
π/6

As = 2π

y(x)

1 + y (x)

2

π/6

dx = 2πcos(2x)

1 + 4 sen2 (2x) dx.

0

0

Sea t = 2 sen(2x), entonces
√

π 1
π 3
1 + t2 dt =
t
As =
2 0
2 2
√
√
π 3 π
=
+ ln 2 + 3 .
2
4

1 + t2 +

1
ln 1 +
2

1 + t2

√
3
0

1
, su asíntota vertical y los ejes...