SEMANA 3 2015 0

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CAPÍTULO 2: TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN E INTEGRALES IMPROPIAS
El método de sustitución o cambio de variable ya nos permite calcular un gran número de integrales
indefinidas y definidas, haciendo un uso bastante general de las reglas básicas de antiderivación.
Existen otras técnicas para obtener antiderivadas y resolver problemas de aplicación de la integración.
Estudiaremos la técnicade integración por partes, por descomposición en fracciones parciales y por
sustitución trigonométrica.

TEMA 1: INTEGRACIÓN POR PARTES
OBJETIVOS:
Al finalizar la clase el alumno será capaz de:
1. Aplicar el método de integración por partes para el cálculo de integrales indefinidas y definidas.
2. Resolver situaciones sobre área y volumen donde tenga que aplicarse integración por partes.INTEGRACIÓN POR PARTES PARA INTEGRAL INDEFINIDA

d
 f ( x )g( x )  f ' ( x ) g( x )  g ' ( x ) f ( x )
dx
d  f ( x )g( x )  f ' ( x ) g( x )dx  g ' ( x ) f ( x ) dx



Derivada un producto:



Escribiendo como diferencial:



Tomando antiderivada general:



Es decir:



Despejando obtenemos la siguiente FÓRMULA DE INTEGRACIÓN POR PARTES

 d  f ( x )g( x )   f ' ( x ) g( x )dx   g ' (x ) f ( x ) dx
f ( x )g( x )   f ' ( x ) g( x )dx   g ' ( x ) f ( x ) dx

 f ( x ) g' ( x ) dx  f ( x ) g( x )   f ' ( x ) g( x )


Forma alternativa: En el integrando identificamos:
Tomamos derivada de u y antiderivada de v:
La fórmula toma la forma

 u dv  uv   v du

(*)

u  f ( x ) ; dv  g ' ( x ) dx
du  f ' ( x )dx ; v  g( x )
(**)

ACTIVIDAD 1: Calcular las siguientesintegrales indefinidas
a)

 ln xdx

b)

x x
 3 e dx

Rpta:

c)

Rpta:

d)

 x sen xdx
2
 x sen xdx

e)

e

Rpta:

2x

senxdx

Rpta:

x ln x  x  c

Rpta:

39

3x e x
c
1  ln 3
 cos x  sen x  c

 x 2 cos x  2 x sen x  2 cos x  c
1
2
 e 2 x cos x  e 2 x sen x  c
5
5

f)

2
 x ln xdx

g)

 (ln x) dx
ln x
dx

x

h)

2

x

j)

 x( 2

k)

x
 ( x  1)e dx

l)

)dx

 x(sen x)(cos x)dx2
 x cos xdx

m)

Rpta:

1 3
1
x ln x  x 2  c
3
3
2
x(ln x)  2 x ln x  2 x  c

Rpta:

2 x ln x  4 x  c

Rpta:

 x
1 
 2x 

c
2
ln
2
(ln 2) 


Rpta:

xe x  c

Rpta:

1
1
1
(sen x)(cos x)  x(sen x) 2  x  c
4
2
4

Rpta:

x 2 sen x  2 x cos x  2 sen x  c
1 5
1 5
x (ln x) 
x c
5
25
1
sec x.tanx   1 ln sec x  tanx  c
2
2

Rpta:

o)

4
 x ln( x)dx

Rpta:

p)

3
 (sec x)dx

Rpta:

q)

 sen

r)

e

x

x
dx
(x)

Rpta:  x cot( x )  ln sen x  C

2

cos( 2 x )dx

2 x
1
e sen( 2 x )  e x cos( 2 x )  C
5
5

Rpta :

INTEGRACIÓN POR PARTES PARA INTEGRAL DEFINIDA
Integrando entre a y b en la fórmula (*):
b

b

 f ( x ) g ' ( x ) dx  f ( x ) g( x )   f ' ( x ) g( x )dx
b
a

a

a

ACTIVIDAD 2: Calcular las siguientes integrales definidas
4

a) Calcular


2
π

x 1
2 x ln
dx
 x 1

x

b) Calcular

2

Rpta: 18 ln( 3 )  15 ln( 5 )  12

cos( nx )dx n  Z 

Rpta:

π

1

c) Si


0

x

e
dx  k , expresar en términos de k:
1 x

1


0

4
cos( nπ )
n2

ex
dx y
1  x 2

40

1


0

e x ln( x  1)

ex
dx
2
e x 1  x 

ACTIVIDAD 3: Teóricas
1. Sea f continua con derivadas continuas. Probar que:
b

f ( b )  f ( a )  f ' ( a )( b  a )   x  b f ' ' ( x )dx
a

2. Sea f una función derivable tal que f ' ( x )  f ( x ) ; x  R . Demostrar que:

 f ( 0 )2   f ( 1 )2

1

 x f ( x ) dx 
2

4

0

3. Sea f una función continua en [a ; b] y g su función inversa. Probar que:
f (b)

b

 2 xf ( x )  b

2

f (b) a f (a )
2

a

 g( y ) dy
2

f(a)

ACTIVIDAD 5: FÓRMULAS DE REDUCCIÓN (O RECURRENCIA)

INTRODUCCIÓN




Sonigualdades que permiten expresar la integral (definida o indefinida) de una potencia entera
positiva de una función en términos de la integral de esa misma función elevada a una potencia menor
(por ello se llama fórmula de reducción del exponente)
Aplicando sucesivamente la fórmula, el integrando queda expresado en términos de una potencia
mínima de la función, en cuyo caso puede aplicarse alguna...