calc II 14 O t 1

C´
alculo II
Tarea 1
Entrega: 15 de Septiembre de 2014
Profesor: Adolfo Zamora Ramos
Alumno:

Grupo: CC01C

Trimestre: 14-O

1. Desarrolle cada una de las siguientessumas:
n

(i )

∑

2q cos

q =0
N

(ii)
(iii)

(−1)k kπ + (−1)k+1

∑
k =0
n

∑

p =0

N
k

(2p − 1)!! p
m sen2p θ
(2p)!!

N

(iv)

qπ
2

N!

∑

e(2m+1) x

m =0

+

1
ln(cosh(2mx ))
N

Nota. (2p − 1)!! = (2p − 1)(2p − 3) · · · 3 · 1 con (−1)!! = 1 y (2p)!! = (2p)(2p − 2) · · · 4 · 2
con 0!! = 1.
2. Escriba cada una de las siguientes sumas ennotacion
´ sigma:

(i )
(ii)
(iii)
(iv)

1 − x + x2 − x3 + x4 + · · · + (−1)n x n
x−

x5
x7
x2q+1
x3
+
−
+ · · · + (−1)q
3!
5!
7!
(2q + 1)!

f ( 2) ( a )
f ( 3) ( a )
f ( N ) (a)
( x − a )2 +
( x − a )3 + · · · +
( x − a) N
2!
3!
N!
a0
πx
2πx
2πx
πx
+ b1 sen
+ a2 cos
+ b2 sen
+···+
+ a1 cos
2
L
L
L
L
mπx
mπx
+ am cos
+ bm sen
L
L
f (0) ( a) + f(1) ( a)( x − a) +

3. Encuentre el valor de cada una de las siguientes sumas:
n

(i )

∑ cos
q =0
N

(ii)

∑

k2 + 2k + 2k

k =0
m n

(iii)

qπ
2

∑ ∑( i + j )

i =1 j =14. Demuestre la desigualdad del tri´angulo generalizada:
n

n

∑ ai

≤

i =1

i =1

5. Use el teorema del binomio:

( a + b )N =

∑ | ai | .

N

N N −k k
a
b
k

∑
k =0para demostrar que
N

N
( x − 1) k = x N .
k

∑
k =0

Notese
´
que en el caso particular x = 2 se tiene
N

∑
k =0

N
k

= 2N ,

y en el caso x = 0
N

N
k

∑ (−1)k
k =0

= 0.6. Use la propiedad telescopica
´
para mostrar que ∀ x = −1
n

∑ (−1)k xk =
k =0

1 + (−1)n x n+1
.
1+x

7. Calcule los siguientes l´ımites:
N

(i )
(ii)

lim

N →∞

limM→∞

∑
k =0
M

∑

p =0

2k
N2
1
(2p)(2p + 1)
M2

L

(iii)

lim

L→∞

∑ (−1)n xn ,

|x| < 1

n =0
∞

Nota. Formalmente se define:

∑
k=m

N

∑
N →∞

· · · = lim

k=m

···