CALCULO 1
Páginas: 3 (552 palabras)
Publicado: 9 de mayo de 2013
A desarrollar:
Resolver los siguientes problemas de derivadas:
1. Recortando en cada esquina de una lámina de cartón de dimensiones 80 cm por 50 cm un cuadrado de lado , y doblandoconvenientemente, se construye una caja rectangular.
Calcular el valor de para que el volumen de la caja sea máximo.
Solución
Considerar el siguiente esquema que desarrolla el enunciadoEl área del rectángulo interior será , para calcular el volumen se debe multiplicar por la altura que en este caso sería . Por loque la función a maximizar sería:
Multiplicando y agrupando términos:
Derivamos la función e igualamos a cero para obtener los puntos críticos:
Esta ecuación nos da dos soluciones críticasy ,
Analizando estos puntos críticos, considerando solo valores positivos, en la tabla de signos siguiente se puede ver:
10
100/3
Crece
Decrece
Crece
Deesta manera , es un máximo para el volumen buscado de
2. Se quiere formar una lata cilíndrica, con tapa, que contenga un litro de capacidad. Calcular las dimensiones del radio y la altura de lalata, de manera tal que el material utilizado en su construcción sea mínimo.
Solución
Considerar el siguiente esquema que desarrolla el enunciado
Se tiene de la fórmula devolumen del cilindro lo siguiente:
Por otro lado la fórmula del área total del cilindro en función de nuestras variables sería:
, con = área lateral y = área de la base de circunferencia, esto esSabemos que el volumen es igual a , por lo que despejamos en función de
Reemplazando en la ecuación de área se tiene:
Derivamos la función e igualamos a cero para obtener los puntoscríticos:
Despejando
Analizando estos puntos críticos, considerando solo valores positivos, en la tabla de signos siguiente se puede ver:
Decrece
Crece
De...
Resolver los siguientes problemas de derivadas:
1. Recortando en cada esquina de una lámina de cartón de dimensiones 80 cm por 50 cm un cuadrado de lado , y doblandoconvenientemente, se construye una caja rectangular.
Calcular el valor de para que el volumen de la caja sea máximo.
Solución
Considerar el siguiente esquema que desarrolla el enunciadoEl área del rectángulo interior será , para calcular el volumen se debe multiplicar por la altura que en este caso sería . Por loque la función a maximizar sería:
Multiplicando y agrupando términos:
Derivamos la función e igualamos a cero para obtener los puntos críticos:
Esta ecuación nos da dos soluciones críticasy ,
Analizando estos puntos críticos, considerando solo valores positivos, en la tabla de signos siguiente se puede ver:
10
100/3
Crece
Decrece
Crece
Deesta manera , es un máximo para el volumen buscado de
2. Se quiere formar una lata cilíndrica, con tapa, que contenga un litro de capacidad. Calcular las dimensiones del radio y la altura de lalata, de manera tal que el material utilizado en su construcción sea mínimo.
Solución
Considerar el siguiente esquema que desarrolla el enunciado
Se tiene de la fórmula devolumen del cilindro lo siguiente:
Por otro lado la fórmula del área total del cilindro en función de nuestras variables sería:
, con = área lateral y = área de la base de circunferencia, esto esSabemos que el volumen es igual a , por lo que despejamos en función de
Reemplazando en la ecuación de área se tiene:
Derivamos la función e igualamos a cero para obtener los puntoscríticos:
Despejando
Analizando estos puntos críticos, considerando solo valores positivos, en la tabla de signos siguiente se puede ver:
Decrece
Crece
De...
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