calculo 1

Vicerrectoría Académica
Dirección de Servicios Académicos
Subdirección de Servicios a Escuelas

GUÍA N° 4 DE CÁLCULO I
La Derivada como razón de cambio

1.

Hasta el año 2000, la estimación de la deuda de EEUU, expresada en millones de
dólares está dada por la función

f(t) = −0,11t 4 + 3,59t 3 − 28,91t 2 + 271,85t + 930,2,

donde t son los años trascurridos a partir de inicios de 1980.
a)Complete la siguiente tabla
Variables

𝒕

𝒇(𝒕)

𝒇´(𝒕)

Significado
Unidad de
Medida

b) Escriba el dominio contextualizado de la función
c) ¿Cuál es la deuda de EEUU al iniciar el año 1990?
d) Interprete y calcule

2.

df
dt

transcurridos 10 años.

Se espera que desde hoy hasta los próximos 12 años (t), la población de cierta
comunidad esté dada por la función p(t) = e0,75t + 280 (miles dehabitantes).
a) Complete la siguiente tabla
Variables

𝒕

𝒑(𝒕)

𝒑´(𝒕)

Significado
Unidad de
Medida

b) Escriba el dominio contextualizado de la función
c) ¿Cuántos habitantes se estima para 5 años más?
d) Interprete y calcule

dp
dentro de 9 años.
dt

1

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3.

En un estudio realizado determinó que el impuestopredial 1 en un determinado
país estaba dado por la función:

I ( x)  x 2  50e x en miles de pesos, donde 𝑥

son los años trascurridos desde inicios del 2005.
a) Complete la siguiente tabla
Variables

𝒙

𝑰(𝒙)

𝑰´(𝒙)

Significado
Unidad de
Medida

b) ¿Cuál es la razón de cambio del impuesto predial, con respecto al tiempo, a
inicios del año 2011?
4.

Una empresa determinó que 𝑡 meses después deaumentar los valores de sus
productos las ventas de la compañía

V (t )  12,5e 0,8t

se pueden calcular con la función

en miles de pesos. ¿A qué razón cambiarán las ventas, con

respecto al tiempo, trascurridos 5 meses?

Nota N°1
La rapidez instantánea corresponde a la razón de cambio instantánea de la posición con
respecto al tiempo
La aceleración instantánea corresponde a la razón de cambioinstantánea de la rapidez
con respecto al tiempo

1

Es el impuesto cuya recaudación, administración y fiscalización corresponde a la municipalidad donde se
ubica el predio

2

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5.

Un grupo de estudiantes participa de una cicletada que inicia en el centro de
Santiago hacia el sur del país. La función s(t ) 0,02t 2  5 entrega la posición de
un ciclista (en kilómetros) después de 𝑡 minutos de su partida.
a) Complete la siguiente tabla (ver nota 1, página 2)

Variables

𝒕

𝒔(𝒕)

𝒔´(𝒕)

𝒔´´(𝒕)

Significado
Unidad de
Medida

b) Determine e interprete los siguientes valores

6.

𝑠(30) , 𝑠´(30) y 𝑠´´(30)

Un automóvil se mueve a lo largo de una carretera en línea recta durante 5
horas, de modo que laposición en kilómetros está dada por la función

d ( x)  x 3e x5 trascurridas x horas. Determine la rapidez instantánea que lleva
a las 3 horas y su aceleración instantánea a las 4 horas.

7.

Un carro se mueve durante 3 minutos a lo largo de un riel horizontal, de tal
manera, que su posición en el instante 𝑡 desde el punto de partida, está
especificado por la función

f (t )  t 3  t 2  18t  45. La distancia se mide en cm y

el tiempo 𝑡 en minutos.
a) Complete la siguiente tabla
Variables

𝒕

𝒇(𝒕)

𝒇´(𝒕)

𝒇´´(𝒕)

Significado
Unidad de
Medida

b) Escriba el dominio contextualizado de la función
c) ¿El carro en qué posición inicia su recorrido?
d) Determine e Interprete f  y f  a los 2 minutos

3

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Si un tanque cilíndrico contiene 100.000 galones2 de agua que se pueden drenar

8.

por el fondo del depósito en 1 hora, la ley de Torricelli da el volumen
que queda después de

t

t 

minutos como V (t )  100.000 1 

 60 

V

del agua

2

0  t  60

a) Complete la siguiente tabla
Variables

𝒕

𝑽(𝒕)

𝑽´(𝒕)

Significado
Unidad de
Medida

b) Determine la función 𝑽´(𝒕)
c)...