Calculo 1

Ing 1, L´
ımites latereales y as´
ıntotas
Profesor Jos´ Aguayo
e
C´lculo I
a
Ingenier´ civiles, Primer Semestre 2014
ıas

Profesor Jos´ Aguayo
e

Ing 1, L´
ımites latereales y as´
ıntotas

En el curso anterior estudiaron l´
ımites de funciones dadas. Analizar
lim f (x)

x→a

equivale a analizar el comportamiento de la funci´n f en una
o
vecindad del puntos a.
Porejemplo, que
x2 − 1
lim 3
x→1 x + 3x 2 − x − 3
o
sea igual a 1 significa que la funci´n f se acerca a la recta y =
4
en la medida que x se acerque a 1

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e

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1
4

La funci´n
o
f (x) =

x2 − 1
x 3 + 3x 2 − x − 3

tiene como dominio R \ {−3, −1, 1} .
¿Qu´ sucede con el comportamiento de f cuando estamos en una
evecindad de −1?
x2 − 1
1
=
3 + 3x 2 − x − 3
x→−1 x
2
lim

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e

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Noten que la situaci´n cambia cuando nos ubicamos en una
o
vecindad de, por ejemplo, −3. Calculemos algunos valores de f
cercano a x = −3 :
−3.01
−100
(−3.01, −100)
−3.001 −1000
(−3.001, −1000)
−3.0001 −10000 (−3.0001, −10000)
−2.99
100
(−2.99, 100)−2.999
1000
(−2.999, 1000)
−2.999
10000
(−2.9999, 10000)
Es decir, por el lado izquierdo de −3, la funci´n asume valores
o
negativos tan grande como queramos. En cambio, por el lado
derecho de −3, la funci´n asume valores positivos tan grande
o
como queramos.

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Definici´n
o
Sea f una funci´n definida elintervalo (c, a) y sea L ∈ R. Diremos
o
que L es el l´
ımite de f (x) cuando x se aproxima a por el lado
izquierdo si para cada > 0, existe δ > 0 tal que
a − δ < x < a ⇒ |f (x) − L| < .
En este caso, ´sto lo denotaremos por
e
lim f (x) = L

x→a−

y diremos que el l´
ımite a izquierda de f en a existe.

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e

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Definici´n
oEl l´
ımite a derecha de f en a tiene un tratamiento completamente
an´logo. Diremos que L es el l´
a
ımite de f (x) cuando x se aproxima
a por el lado derecho si para cada > 0, existe δ > 0 tal que
a < x < a + δ ⇒ |f (x) − L| < ,
lo denotaremos por
lim f (x) = L

x→a+

y diremos que el l´
ımite a derecha de f en a existe.

Para ambos l´
ımites nos referiremos como l´
ımiteslaterales.
Profesor Jos´ Aguayo
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Ejemplo
La siguiente f´rmula proviene de la f´
o
ısica y tiene que tiene que ver
con la caida libre de un objeto. Desde un edificio de altura h0
metros se deja caer un objeto al vac´ y la velocidad de objeto es
ıo
de v0 metros por segundo, entonces la altura del objeto en cada
instante t0 esta regido por laf´rmula
o
2
h (t0 ) = −4.9t0 + v0 t0 + h0

y su velocidad en este mismo instante t esta dada por
v (t0 ) = lim

s→t0

h (t) − h (t0 )
.
t − t0

Suponga que se suelta una bola de acero desde un edificio de 49
metros, con velocidad v0 = 0 en el instante s = 0. Nos gustar´
ıa
hallar la velocidad de la bola de acero cuando se estrelle en el piso.

Profesor Jos´ Aguayo
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Ejemplo (Cont.)
Para este caso h (t) esta dado por
h (t) = −4.9t 2 + 49 = −4.9 t 2 − 10
√
Obviamente, la √ tocar´ el suelo en el instante t = 10 y
bola
a
despues de t > 10 no nos ayudar´ para calcular le velocidad. Por
a
√
o
tanto, s´lo nos interesa aquel tiempo √< 10, es decir, la funci´n
o
t
h tiene como dominio el intervalo 0, 10 . La velocidapromedio
en este intervalo fue
√
√
h 10 − h (t)
h (t) − h 10
√
√
=
10 − t
t − 10

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Ejemplo (Cont.)

√
As´ su velocidad en t0 = 10 es igual a
ı,
√
h (t) − h 10
−4.9 t 2 − 10
√
√
= lim
lim
√ −
√ −
t − 10
t − 10
t→ 10
t→ 10
√
= lim −4.9 t + 10 =
√
−

t→ 10

√

= −9.8 10 ≈ −31m/s...