Calculo 4

Aplicaciones

1.- Sistemas mecánicos
Un peso de 16 libras suspendido de un resorte lo estira 2 pies. En el instante el peso se hala 3 pies por debajo de la posición de equilibrio y se suelta. Asuma una fuerza amortiguadora de 4 veces la velocidad instantánea. En el instante el peso recibe un golpe seco, desde abajo, que transmite 2 unidades de momentum a la masa; además, en el instante seactiva una fuerza externa con una magnitud de 4 unidades. Entonces
1. Determine la ecuación diferencial y condiciones iniciales que describen el movimiento.
2. Encuentre la posición del peso en cualquier instante.
3. ¿Cuál es la posición del peso en?
Solución
Para hallar la constante del resorte

Con lo cual el modelo matemático es

Aplicando transformada
| = | |
| = |3s+3-4e-2δ+ 8 e-4δs |
  | = | 3s+3(s+4)2- 4e-2δ(s+4)2+ 8e-4δs(s+4) 2 |
| | |
| | |
El -2 que acompaña a la función delta se debe a que el golpe es desde abajo con una intensidad de 2 unidades, además recuerde que x(0)=3, pues el peso esta por debajo de la posición de equilibrio. Aplicando fracciones parciales

| | |
  | | |

De donde obtenemos que

| | |
  | ||

Y así x5=0,454137. La gráfica de xt se muestra en la siguiente figura

2.- Con la transformada de Laplace podemos resolver circuitos electrónicos en este caso circuito RLC.

Iniciamos con la ecuación

Donde E (t) es la fuente, R el valor de la resistencia, L el valor del inductor y c el valor de la capacitancia

condicion inicial 0=0

Sustituimos los valores y nos quedaAplicamos Laplace a toda la ecuación y obtenemos

Multiplicamos 10s toda la ecuación para simplificar



3.- Determine la corriente i(t)en un circuito L-R-C en serie para el cual L=0.1H (Henrios), R=20 (Ohmios), C= F (Faradios) y i0=0. La tensión Et aplicada al circuito es la que se muestra en la figura

Solución
Puesto que la función se anula para, se puede escribir como

con locual la ecuación diferencial que modela este circuito es

Y al aplicar la transformada a ambos lados de la ecuación anterior, obtenemos que

de donde obtenemos que

Usando fracciones parciales tenemos que

4.- En el circuito que se indica obtener la carga y la corriente para cualquier tiempo; si en t=0, q =0, i =0.

Paso 1.- Aplicando la segunda ley de Kirchhoff:

Paso 2.-
Paso 3.-Sustituyendo:
Paso 4.- Resolver primero para q (t): sustituir
Paso 5.-
Paso 6.- Modelo matemático del circuito.
Paso 7.- Aplicando la transformada a toda la ecuación:
   
Paso 8.- Factorizando la transformada:
Paso 9.- Despejando la transformada:
Paso 10.- Aplicando la transformada inversa a toda la ecuación:
Paso 11.-
Paso 12.- Simplificando la expresión,en una suma de fracciones parciales:
Paso 13.- ; resolviendo se tiene:

10 =
A= 0.1; B= - 0.1; C= - 0.1; sustituyendo éstos valores:
Paso 14.-
Paso 15.- Obteniendo la transformada inversa mediante las fórmulas:
=> RESULTADO.

=> RESULTADO.

Paso 16.- Gráfica de la carga:  

Paso 17.- Gráfica de la corriente:

5.-   Dado el circuito de la figura, con las siguientescondiciones iniciales:
 

Encuentre i(t), utilizando la transformada de Laplace.
 

 

SOLUCIÓN:

Como primer paso, incluimos las condiciones iniciales en el circuito del dominio del tiempo, y luego transformamos todo el circuito al dominio de la frecuencia:
 







La ecuación principal para resolver el problema, es:
 

Ahora planteamos dos ecuaciones de malla, teniendo encuenta que la segunda ecuación corresponde a la malla exterior del circuito:
 

despejamos estas ecuaciones:
 

Y reemplazando en la ecuación principal:
 
 separamos el primer sumando en fracciones parciales, ya que el segundo sumando ya posee coeficiente:
 
 

hallamos estos coeficientes:
 

 con lo cual la función respuesta en el dominio de la frecuencia, es:
 

 Esta...